1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части
Алгебра
10-11 класс учебник Алимов
10 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Автор
Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.
Год
2015-2024.
Издательство
Просвещение.
Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

  1. Четкая структура материала
    Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
  2. Пошаговые объяснения
    Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
  3. Разнообразие упражнений
    В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
  4. Практическая направленность
    Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
  5. Подготовка к ЕГЭ
    Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1507 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Найти наибольшее и наименьшее значения функции(1507—1509).

у = 2 sin х + cos 2х на отрезке [0;пи/2]

Краткий ответ:

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

y=2sinx+cos2xy = 2 \sin x + \cos 2x

на отрезке [0;π2]\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right].

Производная функции:

y(x)=2(sinx)+(cos2x)=2cosx2sin2x;y'(x) = 2 (\sin x)’ + (\cos 2x)’ = 2 \cos x — 2 \sin 2x;

Стационарные точки:

2cosx2sin2x=0;2 \cos x — 2 \sin 2x = 0;
cosxsin2x=0;\cos x — \sin 2x = 0;
cosx2sinxcosx=0;\cos x — 2 \sin x \cdot \cos x = 0;
cosx(12sinx)=0;\cos x \cdot (1 — 2 \sin x) = 0;

Первое уравнение:

cosx=0;\cos x = 0;
x=arccos0+πn=π2+πn;x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;

Второе уравнение:

12sinx=0;1 — 2 \sin x = 0;
1=2sinx;1 = 2 \sin x;
sinx=12;\sin x = \frac{1}{2};
x=(1)narcsin12+πn=(1)nπ6+πn;x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;

Значения функции:

y(0)=2sin0+cos(20)=20+cos0=0+1=1;y(0) = 2 \sin 0 + \cos (2 \cdot 0) = 2 \cdot 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1;
y(π6)=2sinπ6+cos2π6=212+cosπ3=1+12=1.5;y\left( \frac{\pi}{6} \right) = 2 \sin \frac{\pi}{6} + \cos \frac{2\pi}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} + \cos \frac{\pi}{3} = 1 + \frac{1}{2} = 1.5;
y(π2)=2sinπ2+cos2π2=21+cosπ=21=1;y\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{2\pi}{2} = 2 \cdot 1 + \cos \pi = 2 — 1 = 1;

Ответ:

ymin=1;ymax=1.5.y_{\text{min}} = 1; \quad y_{\text{max}} = 1.5.\boxed{y_{\text{min}} = 1, \, y_{\text{max}} = 1.5}

Подробный ответ:

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

y=2sinx+cos2xy = 2 \sin x + \cos 2x

на отрезке [0;π2]\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right].

Шаг 1: Найдем производную функции

Для нахождения экстремумов функции yy на отрезке, нужно найти её производную, а затем решить уравнение, при котором производная равна нулю (найти стационарные точки).

Функция y=2sinx+cos2xy = 2 \sin x + \cos 2x состоит из двух частей:

  1. 2sinx2 \sin x,
  2. cos2x\cos 2x.

Для нахождения производной функции воспользуемся стандартными правилами дифференцирования:

Производная от 2sinx2 \sin x по xx будет:

ddx(2sinx)=2cosx.\frac{d}{dx}(2 \sin x) = 2 \cos x.

Производная от cos2x\cos 2x по xx будет:

ddx(cos2x)=2sin2x,\frac{d}{dx}(\cos 2x) = -2 \sin 2x,

поскольку по правилу дифференцирования сложных функций производная от cos(u)\cos(u) равна sin(u)u-\sin(u) \cdot u’, где u=2xu = 2x, а производная от 2x2x равна 2.

Таким образом, полная производная функции yy будет:

y(x)=2cosx2sin2x.y'(x) = 2 \cos x — 2 \sin 2x.

Шаг 2: Стационарные точки

Теперь нужно найти стационарные точки функции, решив уравнение y(x)=0y'(x) = 0.

2cosx2sin2x=02 \cos x — 2 \sin 2x = 0

Разделим обе части на 2:

cosxsin2x=0.\cos x — \sin 2x = 0.

Для упрощения воспользуемся формулой двойного угла для синуса:

sin2x=2sinxcosx.\sin 2x = 2 \sin x \cos x.

Тогда уравнение примет вид:

cosx2sinxcosx=0.\cos x — 2 \sin x \cos x = 0.

Теперь вынесем cosx\cos x за скобки:

cosx(12sinx)=0.\cos x (1 — 2 \sin x) = 0.

Это уравнение можно решить двумя способами:

  1. cosx=0\cos x = 0,
  2. 12sinx=01 — 2 \sin x = 0.

Решение 1: cosx=0\cos x = 0

Решение этого уравнения:

x=arccos0+πn=π2+πn,x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n,

где nn — целое число.

На отрезке [0;π2]\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right] единственное решение — x=π2x = \frac{\pi}{2}.

Решение 2: 12sinx=01 — 2 \sin x = 0

Решение этого уравнения:

1=2sinx,1 = 2 \sin x, sinx=12.\sin x = \frac{1}{2}.

Известно, что sinx=12\sin x = \frac{1}{2} при x=π6x = \frac{\pi}{6} (в пределах отрезка [0;π2]\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right]).

Шаг 3: Вычисление значений функции в критических точках

Теперь мы нашли стационарные точки: x=π6x = \frac{\pi}{6} и x=π2x = \frac{\pi}{2}. Осталось вычислить значения функции y=2sinx+cos2xy = 2 \sin x + \cos 2x в этих точках, а также в концах отрезка x=0x = 0 и x=π2x = \frac{\pi}{2}.

Значение функции в точке x=0x = 0:

y(0)=2sin0+cos(20)=20+cos0=0+1=1.y(0) = 2 \sin 0 + \cos(2 \cdot 0) = 2 \cdot 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1.

Значение функции в точке x=π6x = \frac{\pi}{6}:

y(π6)=2sinπ6+cos2π6=212+cosπ3=1+12=1.5.y\left( \frac{\pi}{6} \right) = 2 \sin \frac{\pi}{6} + \cos \frac{2\pi}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} + \cos \frac{\pi}{3} = 1 + \frac{1}{2} = 1.5.

Значение функции в точке x=π2x = \frac{\pi}{2}:

y(π2)=2sinπ2+cos2π2=21+cosπ=21=1.y\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{2\pi}{2} = 2 \cdot 1 + \cos \pi = 2 — 1 = 1.

Шаг 4: Наибольшее и наименьшее значения функции

Теперь, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0;π2]\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right], нужно сравнить значения функции в точках x=0x = 0, x=π6x = \frac{\pi}{6} и x=π2x = \frac{\pi}{2}:

  • y(0)=1y(0) = 1,
  • y(π6)=1.5y\left( \frac{\pi}{6} \right) = 1.5,
  • y(π2)=1y\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1.

Из этого видно, что:

  • Наименьшее значение функции: ymin=1y_{\text{min}} = 1,
  • Наибольшее значение функции: ymax=1.5y_{\text{max}} = 1.5.

Ответ:

ymin=1,ymax=1.5.


Задачи для внеклассной работы
Общая оценка
3.6 / 5
Комментарии
Другие предметы
Алгебра
10-10 класс