ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1507 Алимов — Подробные Ответы

Найти наибольшее и наименьшее значения функции(1507—1509).

у = 2 sin х + cos 2х на отрезке [0;пи/2]

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

$y = 2 \sin x + \cos 2x$

на отрезке $\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right]$.

Производная функции:

$y'(x) = 2 (\sin x)’ + (\cos 2x)’ = 2 \cos x — 2 \sin 2x;$

Стационарные точки:

$2 \cos x — 2 \sin 2x = 0;$
$\cos x — \sin 2x = 0;$
$\cos x — 2 \sin x \cdot \cos x = 0;$
$\cos x \cdot (1 — 2 \sin x) = 0;$

Первое уравнение:

$\cos x = 0;$
$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$

Второе уравнение:

$1 — 2 \sin x = 0;$
$1 = 2 \sin x;$
$\sin x = \frac{1}{2};$
$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$

Значения функции:

$y(0) = 2 \sin 0 + \cos (2 \cdot 0) = 2 \cdot 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1;$
$y\left( \frac{\pi}{6} \right) = 2 \sin \frac{\pi}{6} + \cos \frac{2\pi}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} + \cos \frac{\pi}{3} = 1 + \frac{1}{2} = 1.5;$
$y\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{2\pi}{2} = 2 \cdot 1 + \cos \pi = 2 — 1 = 1;$

Ответ:

$y_{\text{min}} = 1; \quad y_{\text{max}} = 1.5.$$$\boxed{y_{\text{min}} = 1, \, y_{\text{max}} = 1.5}$$

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

$$y = 2 \sin x + \cos 2x$$

на отрезке $\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right]$.

Шаг 1: Найдем производную функции

Для нахождения экстремумов функции $y$ на отрезке, нужно найти её производную, а затем решить уравнение, при котором производная равна нулю (найти стационарные точки).

Функция $y = 2 \sin x + \cos 2x$ состоит из двух частей:

1. $2 \sin x$,
2. $\cos 2x$.

Для нахождения производной функции воспользуемся стандартными правилами дифференцирования:

Производная от $2 \sin x$ по $x$ будет:

$$\frac{d}{dx}(2 \sin x) = 2 \cos x.$$

Производная от $\cos 2x$ по $x$ будет:

$$\frac{d}{dx}(\cos 2x) = -2 \sin 2x,$$

поскольку по правилу дифференцирования сложных функций производная от $\cos(u)$ равна $-\sin(u) \cdot u’$, где $u = 2x$, а производная от $2x$ равна 2.

Таким образом, полная производная функции $y$ будет:

$$y'(x) = 2 \cos x — 2 \sin 2x.$$

Шаг 2: Стационарные точки

Теперь нужно найти стационарные точки функции, решив уравнение $y'(x) = 0$.

$$2 \cos x — 2 \sin 2x = 0$$

Разделим обе части на 2:

$$\cos x — \sin 2x = 0.$$

Для упрощения воспользуемся формулой двойного угла для синуса:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x.$$

Тогда уравнение примет вид:

$$\cos x — 2 \sin x \cos x = 0.$$

Теперь вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x (1 — 2 \sin x) = 0.$$

Это уравнение можно решить двумя способами:

1. $\cos x = 0$,
2. $1 — 2 \sin x = 0$.

Решение 1: $\cos x = 0$

Решение этого уравнения:

$$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n,$$

где $n$ — целое число.

На отрезке $\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right]$ единственное решение — $x = \frac{\pi}{2}$.

Решение 2: $1 — 2 \sin x = 0$

Решение этого уравнения:

$$1 = 2 \sin x,$$ $$\sin x = \frac{1}{2}.$$

Известно, что $\sin x = \frac{1}{2}$ при $x = \frac{\pi}{6}$ (в пределах отрезка $\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right]$).

Шаг 3: Вычисление значений функции в критических точках

Теперь мы нашли стационарные точки: $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{2}$. Осталось вычислить значения функции $y = 2 \sin x + \cos 2x$ в этих точках, а также в концах отрезка $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

Значение функции в точке $x = 0$:

$$y(0) = 2 \sin 0 + \cos(2 \cdot 0) = 2 \cdot 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1.$$

Значение функции в точке $x = \frac{\pi}{6}$:

$$y\left( \frac{\pi}{6} \right) = 2 \sin \frac{\pi}{6} + \cos \frac{2\pi}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} + \cos \frac{\pi}{3} = 1 + \frac{1}{2} = 1.5.$$

Значение функции в точке $x = \frac{\pi}{2}$:

$$y\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{2\pi}{2} = 2 \cdot 1 + \cos \pi = 2 — 1 = 1.$$

Шаг 4: Наибольшее и наименьшее значения функции

Теперь, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right]$, нужно сравнить значения функции в точках $x = 0$, $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{2}$:

• $y(0) = 1$,
• $y\left( \frac{\pi}{6} \right) = 1.5$,
• $y\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$.

Из этого видно, что:

• Наименьшее значение функции: $y_{\text{min}} = 1$,
• Наибольшее значение функции: $y_{\text{max}} = 1.5$.

Ответ:

$$y_{\text{min}}=1,y_{\text{max}}=\mathrm{1.5.}$$