ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1506 Алимов — Подробные Ответы

1. $y = \frac{3x^2 + 4x + 4}{x^2 + x + 1}$;
2. $y = \frac{x^2 + 6x + 3}{3x + 4}$

Задание 1:

$y = \frac{3x^2 + 4x + 4}{x^2 + x + 1}$;

Производная функции:

$$y'(x) = \frac{(3x^2 + 4x + 4)’ \cdot (x^2 + x + 1) — (3x^2 + 4x + 4) \cdot (x^2 + x + 1)’}{(x^2 + x + 1)^2};$$ $$y'(x) = \frac{(3 \cdot 2x + 4) \cdot (x^2 + x + 1) — (3x^2 + 4x + 4) \cdot (2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2};$$ $$y'(x) = \frac{6x^3 + 6x^2 + 6x + 4x^2 + 4x + 4 — 6x^3 — 8x^2 — 4x^2 — 8x — 4}{(x^2 + x + 1)^2};$$ $$y'(x) = \frac{-x^2 — 2x}{(x^2 + x + 1)^2};$$

Промежуток возрастания:

$$-x^2 — 2x > 0;$$ $$x^2 + 2x < 0;$$ $$(x + 2) \cdot x \leqslant 0;$$ $$-2 < x < 0;$$

Ответ:

$x = 0$ — точка максимума;
$x = -2$ — точка минимума.

Задание 2:

$y = \frac{x^2 + 6x + 3}{3x + 4}$;

Производная функции:

$$y'(x) = \frac{(x^2 + 6x + 3)’ \cdot (3x + 4) — (x^2 + 6x + 3) \cdot (3x + 4)’}{(3x + 4)^2};$$ $$y'(x) = \frac{(2x + 6) \cdot (3x + 4) — (x^2 + 6x + 3) \cdot 3}{(3x + 4)^2};$$ $$y'(x) = \frac{6x^2 + 8x + 18x + 24 — 3x^2 — 18x — 9}{(3x + 4)^2} = \frac{3x^2 + 8x + 15}{(3x + 4)^2};$$

Стационарные точки:

$$3x^2 + 8x + 15 = 0;$$ $$D = 8^2 — 4 \cdot 3 \cdot 15 = 64 — 180 = -116;$$ $$D < 0, \text{значит корней нет};$$

Ответ:

нет таких точек.

Задание 1: $y = \frac{3x^2 + 4x + 4}{x^2 + x + 1}$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции, которая является дробью, используем правило дифференцирования дроби:

$$\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’ = \frac{f'(x) \cdot g(x) — f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$$

где $f(x) = 3x^2 + 4x + 4$ и $g(x) = x^2 + x + 1$.

Находим производные $f'(x)$ и $g'(x)$:

• $f(x) = 3x^2 + 4x + 4$ ⇒ $f'(x) = (3x^2 + 4x + 4)’ = 6x + 4$,
• $g(x) = x^2 + x + 1$ ⇒ $g'(x) = (x^2 + x + 1)’ = 2x + 1$.

Теперь подставляем эти выражения в формулу для производной дроби:

$$y'(x) = \frac{(6x + 4) \cdot (x^2 + x + 1) — (3x^2 + 4x + 4) \cdot (2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}$$

Шаг 2: Упрощение выражения для производной

Теперь упростим числитель.

Раскроем скобки в первом слагаемом:

$$(6x + 4) \cdot (x^2 + x + 1) = 6x(x^2 + x + 1) + 4(x^2 + x + 1)$$

• $6x(x^2 + x + 1) = 6x^3 + 6x^2 + 6x$,
• $4(x^2 + x + 1) = 4x^2 + 4x + 4$.

Суммируем:

$$6x^3 + 6x^2 + 6x + 4x^2 + 4x + 4 = 6x^3 + 10x^2 + 10x + 4.$$

Раскроем скобки во втором слагаемом:

$$(3x^2 + 4x + 4) \cdot (2x + 1) = 3x^2(2x + 1) + 4x(2x + 1) + 4(2x + 1)$$

• $3x^2(2x + 1) = 6x^3 + 3x^2$,
• $4x(2x + 1) = 8x^2 + 4x$,
• $4(2x + 1) = 8x + 4$.

Суммируем:

$$6x^3 + 3x^2 + 8x^2 + 4x + 8x + 4 = 6x^3 + 11x^2 + 12x + 4.$$

Теперь подставим эти выражения в числитель:

$$y'(x) = \frac{(6x^3 + 10x^2 + 10x + 4) — (6x^3 + 11x^2 + 12x + 4)}{(x^2 + x + 1)^2}$$

Сокращаем одинаковые члены:

$$y'(x) = \frac{6x^3 + 10x^2 + 10x + 4 — 6x^3 — 11x^2 — 12x — 4}{(x^2 + x + 1)^2}$$

Упростим:

$$y'(x) = \frac{-x^2 — 2x}{(x^2 + x + 1)^2}$$

Шаг 3: Промежутки возрастания и убывания

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции исследуем знак производной.

1. Производная $y'(x) = \frac{-x^2 — 2x}{(x^2 + x + 1)^2}$.
2. Замечаем, что знаменатель $(x^2 + x + 1)^2$ всегда положителен, так как это квадрат выражения, и он не может быть равен нулю. Таким образом, знак производной зависит только от числителя $-x^2 — 2x$.
3. Рассмотрим знак числителя:

$$-x^2 — 2x > 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 2x < 0$$

Разложим на множители:

$$(x + 2) \cdot x \leqslant 0$$

Из этого неравенства получаем:

$$-2 < x < 0$$

Шаг 4: Точки экстремума

Поскольку функция возрастает на интервале $(-2, 0)$ и убывает на интервале $(-\infty, -2)$, точка $x = 0$ будет точкой максимума, а точка $x = -2$ — точкой минимума.

Ответ:

• $x = 0$ — точка максимума;
• $x = -2$ — точка минимума.

Задание 2: $y = \frac{x^2 + 6x + 3}{3x + 4}$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для этой функции также используем правило дифференцирования дроби:

$$\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’ = \frac{f'(x) \cdot g(x) — f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$$

где $f(x) = x^2 + 6x + 3$ и $g(x) = 3x + 4$.

Находим производные $f'(x)$ и $g'(x)$:

• $f(x) = x^2 + 6x + 3$ ⇒ $f'(x) = (x^2 + 6x + 3)’ = 2x + 6$,
• $g(x) = 3x + 4$ ⇒ $g'(x) = (3x + 4)’ = 3$.

Подставляем эти выражения в формулу для производной дроби:

$$y'(x) = \frac{(2x + 6) \cdot (3x + 4) — (x^2 + 6x + 3) \cdot 3}{(3x + 4)^2}$$

Шаг 2: Упрощение выражения для производной

Раскроем скобки в числителе:

$$(2x + 6)(3x + 4) = 6x^2 + 8x + 18x + 24 = 6x^2 + 26x + 24$$ $$(x^2 + 6x + 3) \cdot 3 = 3x^2 + 18x + 9$$

Теперь подставим это в числитель:

$$y'(x) = \frac{6x^2 + 26x + 24 — (3x^2 + 18x + 9)}{(3x + 4)^2}$$

Упростим числитель:

$$y'(x) = \frac{6x^2 + 26x + 24 — 3x^2 — 18x — 9}{(3x + 4)^2}$$ $$y'(x) = \frac{3x^2 + 8x + 15}{(3x + 4)^2}$$

Шаг 3: Стационарные точки

Для нахождения стационарных точек приравняем числитель производной $3x^2 + 8x + 15 = 0$.

Найдем дискриминант:

$$D = 8^2 — 4 \cdot 3 \cdot 15 = 64 — 180 = -116$$

Поскольку дискриминант отрицателен, у уравнения нет действительных корней.

Ответ:

• Стационарных точек нет.