ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1505 Алимов — Подробные Ответы

Найти точки экстремума функции (1505—1506).

1. у = (х — 1)3 (х — 2)2;
2. у = 4 + (6 — х)4.

1) $y = (x-1)^3 \cdot (x-2)^2$

Производная функции:

$$y'(x) = (x-1)^3 \cdot (x-2)^2 + (x-1)^3 \cdot (x-2)^2;$$ $$y'(x) = 3(x-1)^2 \cdot (x-2)^2 + (x-1)^3 \cdot 2(x-2);$$ $$y'(x) = (x-1)^2 \cdot (x-2) \cdot (3(x-2) + 2(x-1));$$ $$y'(x) = (x-1)^2 \cdot (x-2) \cdot (3x — 6 + 2x — 2);$$ $$y'(x) = (x-1)^2 \cdot (x-2) \cdot (5x — 8);$$

Промежуток возрастания:

$$(5x — 8)(x — 2) > 0;$$ $$x < 1,6 \text{ или } x > 2;$$

Ответ:

$$x = 1,6 \text{ — точка максимума; }$$ $$x = 2 \text{ — точка минимума.}$$

2) $y = 4 + (6-x)^4$

Производная функции:

$$y'(x) = (4) + (6-x)^4 = 0 + (-1) \cdot 4(6-x)^3 = -4(6-x)^3;$$

Промежуток возрастания:

$$(6-x)^3 < 0;$$ $$6-x < 0;$$ $$-x < -6, \text{ отсюда } x > 6;$$

Ответ:

$$x = 6 \text{ — точка минимума.}$$

Задание 1: $y = (x-1)^3 \cdot (x-2)^2$

Нам нужно найти производную функции, исследовать знак производной и определить интервалы возрастания и убывания, а также определить точки экстремума (максимума и минимума).

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для того чтобы найти производную функции, используем правило произведения для двух функций:

$$\frac{d}{dx} \left( f(x) \cdot g(x) \right) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$

Здесь:

• $f(x) = (x-1)^3$,
• $g(x) = (x-2)^2$.

Найдем производные этих функций:

• Производная $f'(x) = \frac{d}{dx} \left( (x-1)^3 \right) = 3(x-1)^2$,
• Производная $g'(x) = \frac{d}{dx} \left( (x-2)^2 \right) = 2(x-2)$.

Теперь применим правило произведения:

$$y'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$ $$y'(x) = 3(x-1)^2 \cdot (x-2)^2 + (x-1)^3 \cdot 2(x-2)$$

Шаг 2: Упрощение производной

Теперь упростим выражение для производной.

Раскроем скобки в первом слагаемом:

$$3(x-1)^2 \cdot (x-2)^2$$

Оставляем это выражение как есть, поскольку его не нужно упрощать.

Упростим второе слагаемое:

$$(x-1)^3 \cdot 2(x-2) = 2(x-1)^3 \cdot (x-2)$$

Теперь комбинируем оба слагаемых:

$$y'(x) = (x-1)^2 \cdot (x-2) \cdot \left( 3(x-2) + 2(x-1) \right)$$

Раскроем скобки внутри круглых скобок:

$$y'(x) = (x-1)^2 \cdot (x-2) \cdot \left( 3x — 6 + 2x — 2 \right)$$ $$y'(x) = (x-1)^2 \cdot (x-2) \cdot (5x — 8)$$

Шаг 3: Промежутки возрастания и убывания

Теперь нам нужно определить интервалы возрастания и убывания функции. Для этого исследуем знак производной $y'(x)$.

1. В знаменателе у нас нет выражений, так как это дробь, и мы можем смело перейти к анализу числителя.
2. Знак числителя $(x-1)^2 \cdot (x-2) \cdot (5x — 8)$ зависит от знаков каждого из множителей:
   • $(x-1)^2$ всегда положительно, так как это квадрат;
   • $(x-2)$ меняет знак в точке $x = 2$;
   • $(5x — 8)$ меняет знак в точке $x = \frac{8}{5} = 1.6$.

Таким образом, производная $y'(x)$ меняет знак в точках $x = 1$, $x = 1.6$ и $x = 2$. Теперь исследуем интервалы:

При $x < 1$:

• $(x-1)^2 > 0$,
• $(x-2) < 0$,
• $(5x — 8) < 0$.
  Таким образом, $y'(x) > 0$, то есть функция возрастает.

При $1 < x < 1.6$:

• $(x-1)^2 > 0$,
• $(x-2) < 0$,
• $(5x — 8) > 0$.
  Таким образом, $y'(x) < 0$, то есть функция убывает.

При $1.6 < x < 2$:

• $(x-1)^2 > 0$,
• $(x-2) < 0$,
• $(5x — 8) > 0$.
  Таким образом, $y'(x) < 0$, то есть функция убывает.

При $x > 2$:

• $(x-1)^2 > 0$,
• $(x-2) > 0$,
• $(5x — 8) > 0$.
  Таким образом, $y'(x) > 0$, то есть функция возрастает.

Шаг 4: Точки экстремума

Теперь, когда мы определили интервалы возрастания и убывания, можем найти точки экстремума.

1. $x = 1.6$ — точка максимума, так как до этой точки функция возрастает, а после — убывает.
2. $x = 2$ — точка минимума, так как до этой точки функция убывает, а после — возрастает.

Ответ:

• Точка максимума: $x = 1.6$,
• Точка минимума: $x = 2$.

Задание 2: $y = 4 + (6-x)^4$

Теперь разберем задачу для функции $y = 4 + (6-x)^4$.

Шаг 1: Нахождение производной функции

Используем стандартное правило дифференцирования для функции вида $y = 4 + (6 — x)^4$:

$$y'(x) = \frac{d}{dx} \left( 4 \right) + \frac{d}{dx} \left( (6 — x)^4 \right)$$

Производная от константы 4 равна 0. Производная от $(6 — x)^4$ по цепному правилу:

$$\frac{d}{dx} \left( (6 — x)^4 \right) = -4(6 — x)^3$$

Таким образом:

$$y'(x) = -4(6 — x)^3$$

Шаг 2: Промежутки возрастания и убывания

Теперь исследуем знак производной $y'(x) = -4(6 — x)^3$.

Из выражения видно, что знак производной зависит от знака $(6 — x)^3$.

• Если $6 — x > 0$, то $(6 — x)^3 > 0$, и $y'(x) < 0$, то есть функция убывает.
• Если $6 — x < 0$, то $(6 — x)^3 < 0$, и $y'(x) > 0$, то есть функция возрастает.

Функция меняет знак в точке $x = 6$.

Шаг 3: Точка экстремума

Поскольку функция меняет знак производной в точке $x = 6$, это точка минимума, так как до этой точки функция убывает, а после — возрастает.

Ответ:

• Точка минимума: $x = 6$.