ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1504 Алимов — Подробные Ответы

Найти промежутки монотонности функции:

1. y=(x2+1)/(x2-1);
2. y=(x2-1)/x.

$y = \frac{x^2 + 1}{x^2 — 1}$;

Производная функции:

$$y'(x) = \frac{(x^2 + 1)’ \cdot (x^2 — 1) — (x^2 + 1) \cdot (x^2 — 1)’}{(x^2 — 1)^2};$$ $$y'(x) = \frac{2x \cdot (x^2 — 1) — (x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 — 1)^2} = \frac{2x \cdot (x^2 — 1 — x^2 — 1)}{(x^2 — 1)^2};$$ $$y'(x) = \frac{2x \cdot (-2)}{(x^2 — 1)^2} = \frac{-4x}{(x^2 — 1)^2};$$

Промежуток возрастания:

$$-4x > 0, \text{отсюда } x < 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 — 1 \neq 0;$$ $$x^2 \neq 1, \text{отсюда } x \neq \pm 1;$$

Ответ: возрастает на $(-∞; -1) \cup (-1; 0)$;
убывает на $(0; 1) \cup (1; +∞)$.

$y = \frac{x^2 — 1}{x}$;

Производная функции:

$$y'(x) = \frac{(x^2 — 1)’ \cdot x — (x^2 — 1) \cdot (x)’}{x^2} = \frac{2x \cdot x — (x^2 — 1) \cdot 1}{x^2};$$ $$y'(x) = \frac{2x^2 — x^2 + 1}{x^2} = \frac{x^2 + 1}{x^2} > 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \neq 0;$$

Ответ: возрастает на $(-∞; 0) \cup (0; +∞)$.

Задание 1: $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 — 1}$

Нам нужно найти производную функции, анализировать её знак и найти интервалы возрастания и убывания функции.

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для того чтобы найти производную функции, будем использовать правило дифференцирования дроби. Формула для производной дроби $\frac{f(x)}{g(x)}$ имеет вид:

$$\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’ = \frac{f'(x) \cdot g(x) — f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$$

Здесь:

• $f(x) = x^2 + 1$,
• $g(x) = x^2 — 1$.

Теперь находим производные от этих функций:

• Производная $f'(x) = (x^2 + 1)’ = 2x$,
• Производная $g'(x) = (x^2 — 1)’ = 2x$.

Теперь подставляем в формулу для производной дроби:

$$y'(x) = \frac{(2x) \cdot (x^2 — 1) — (x^2 + 1) \cdot (2x)}{(x^2 — 1)^2}$$

Теперь упростим числитель:

$$y'(x) = \frac{2x(x^2 — 1) — 2x(x^2 + 1)}{(x^2 — 1)^2}$$

Раскрываем скобки в числителе:

$$y'(x) = \frac{2x(x^2) — 2x(1) — 2x(x^2) — 2x(1)}{(x^2 — 1)^2}$$ $$y'(x) = \frac{2x^3 — 2x — 2x^3 — 2x}{(x^2 — 1)^2}$$

Теперь сокращаем $2x^3$ и $-2x^3$:

$$y'(x) = \frac{-4x}{(x^2 — 1)^2}$$

Шаг 2: Промежуток возрастания и убывания

Теперь, зная производную функции, можем найти интервалы возрастания и убывания. Для этого анализируем знак производной $y'(x) = \frac{-4x}{(x^2 — 1)^2}$.

Знак числителя: $-4x$ зависит от знака $x$:

• Если $x > 0$, то $-4x < 0$,
• Если $x < 0$, то $-4x > 0$,
• Если $x = 0$, то $-4x = 0$.

Знак знаменателя: $(x^2 — 1)^2$ всегда положителен, так как это квадрат выражения (квадрат любого числа всегда положителен). Однако выражение имеет смысл при $x \neq \pm 1$, так как в этих точках знаменатель равен нулю.

Таким образом, знак производной зависит только от знака числителя $-4x$:

• Если $x > 0$, то $y'(x) < 0$, значит функция убывает,
• Если $x < 0$, то $y'(x) > 0$, значит функция возрастает.

Шаг 3: Выражение имеет смысл при

Функция имеет смысл, если знаменатель не равен нулю. То есть:

$$x^2 — 1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \neq 1 \quad \Rightarrow \quad x \neq \pm 1$$

Таким образом, выражение имеет смысл при $x \neq \pm 1$.

Шаг 4: Ответ

• Функция возрастает на интервалах $(-\infty, -1) \cup (-1, 0)$,
• Функция убывает на интервалах $(0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Задание 2: $y = \frac{x^2 — 1}{x}$

Здесь нам нужно найти производную функции, проанализировать её знак и определить интервалы возрастания и убывания.

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для вычисления производной воспользуемся правилом дифференцирования дроби:

$$\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’ = \frac{f'(x) \cdot g(x) — f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$$

Здесь:

• $f(x) = x^2 — 1$,
• $g(x) = x$.

Теперь находим производные от этих функций:

• Производная $f'(x) = (x^2 — 1)’ = 2x$,
• Производная $g'(x) = (x)’ = 1$.

Подставляем в формулу для производной:

$$y'(x) = \frac{(2x) \cdot x — (x^2 — 1) \cdot 1}{x^2}$$

Упростим числитель:

$$y'(x) = \frac{2x^2 — (x^2 — 1)}{x^2} = \frac{2x^2 — x^2 + 1}{x^2}$$ $$y'(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2}$$

Шаг 2: Промежуток возрастания и убывания

Теперь анализируем знак производной $y'(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2}$.

1. Знак числителя: $x^2 + 1$ всегда положителен, так как $x^2 \geq 0$ для всех $x$, и $x^2 + 1 > 0$ всегда.
2. Знак знаменателя: $x^2$ также всегда положителен при $x \neq 0$, так как это квадрат.

Таким образом, $y'(x) > 0$ для всех $x \neq 0$, что означает, что функция возрастает на всех интервалах, за исключением $x = 0$, где она не определена.

Шаг 3: Выражение имеет смысл при

Функция имеет смысл при $x \neq 0$, так как в точке $x = 0$ знаменатель равен нулю.

Шаг 4: Ответ

• Функция возрастает на интервалах $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.