ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1504 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Найти промежутки монотонности функции:

y=(x2+1)/(x2-1);
y=(x2-1)/x.

Краткий ответ:

$y = \frac{x^2 + 1}{x^2 — 1}$ ;

Производная функции:

$y'(x) = \frac{(x^2 + 1)’ \cdot (x^2 — 1) — (x^2 + 1) \cdot (x^2 — 1)’}{(x^2 — 1)^2};$ $y'(x) = \frac{2x \cdot (x^2 — 1) — (x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 — 1)^2} = \frac{2x \cdot (x^2 — 1 — x^2 — 1)}{(x^2 — 1)^2};$ $y'(x) = \frac{2x \cdot (-2)}{(x^2 — 1)^2} = \frac{-4x}{(x^2 — 1)^2};$

Промежуток возрастания:

$-4x > 0, \text{отсюда } x < 0;$

Выражение имеет смысл при:

$x^2 — 1 \neq 0;$ $x^2 \neq 1, \text{отсюда } x \neq \pm 1;$

Ответ: возрастает на $(-∞; -1) \cup (-1; 0)$ ;
убывает на $(0; 1) \cup (1; +∞)$ .

$y = \frac{x^2 — 1}{x}$ ;

Производная функции:

$y'(x) = \frac{(x^2 — 1)’ \cdot x — (x^2 — 1) \cdot (x)’}{x^2} = \frac{2x \cdot x — (x^2 — 1) \cdot 1}{x^2};$ $y'(x) = \frac{2x^2 — x^2 + 1}{x^2} = \frac{x^2 + 1}{x^2} > 0;$

Выражение имеет смысл при:

$x \neq 0;$

Ответ: возрастает на $(-∞; 0) \cup (0; +∞)$ .

Подробный ответ:

Задание 1: $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 — 1}$

Нам нужно найти производную функции, анализировать её знак и найти интервалы возрастания и убывания функции.

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для того чтобы найти производную функции, будем использовать правило дифференцирования дроби. Формула для производной дроби $\frac{f(x)}{g(x)}$ имеет вид:

$\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’ = \frac{f'(x) \cdot g(x) — f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$

Здесь:

$f(x) = x^2 + 1$ ,
$g(x) = x^2 — 1$ .

Теперь находим производные от этих функций:

Производная $f'(x) = (x^2 + 1)’ = 2x$ ,
Производная $g'(x) = (x^2 — 1)’ = 2x$ .

Теперь подставляем в формулу для производной дроби:

$y'(x) = \frac{(2x) \cdot (x^2 — 1) — (x^2 + 1) \cdot (2x)}{(x^2 — 1)^2}$

Теперь упростим числитель:

$y'(x) = \frac{2x(x^2 — 1) — 2x(x^2 + 1)}{(x^2 — 1)^2}$

Раскрываем скобки в числителе:

$y'(x) = \frac{2x(x^2) — 2x(1) — 2x(x^2) — 2x(1)}{(x^2 — 1)^2}$ $y'(x) = \frac{2x^3 — 2x — 2x^3 — 2x}{(x^2 — 1)^2}$

Теперь сокращаем $2x^3$ и $-2x^3$ :

$y'(x) = \frac{-4x}{(x^2 — 1)^2}$

Шаг 2: Промежуток возрастания и убывания

Теперь, зная производную функции, можем найти интервалы возрастания и убывания. Для этого анализируем знак производной $y'(x) = \frac{-4x}{(x^2 — 1)^2}$ .

Знак числителя: $-4x$ зависит от знака $x$ :

Если $x > 0$ , то $-4x < 0$ ,
Если $x < 0$ , то $-4x > 0$ ,
Если $x = 0$ , то $-4x = 0$ .

Знак знаменателя: $(x^2 — 1)^2$ всегда положителен, так как это квадрат выражения (квадрат любого числа всегда положителен). Однако выражение имеет смысл при $x \neq \pm 1$ , так как в этих точках знаменатель равен нулю.

Таким образом, знак производной зависит только от знака числителя $-4x$ :

Если $x > 0$ , то $y'(x) < 0$ , значит функция убывает,
Если $x < 0$ , то $y'(x) > 0$ , значит функция возрастает.

Шаг 3: Выражение имеет смысл при

Функция имеет смысл, если знаменатель не равен нулю. То есть:

$x^2 — 1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \neq 1 \quad \Rightarrow \quad x \neq \pm 1$

Таким образом, выражение имеет смысл при $x \neq \pm 1$ .

Шаг 4: Ответ

Функция возрастает на интервалах $(-\infty, -1) \cup (-1, 0)$ ,
Функция убывает на интервалах $(0, 1) \cup (1, +\infty)$ .

Задание 2: $y = \frac{x^2 — 1}{x}$

Здесь нам нужно найти производную функции, проанализировать её знак и определить интервалы возрастания и убывания.

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для вычисления производной воспользуемся правилом дифференцирования дроби:

$\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’ = \frac{f'(x) \cdot g(x) — f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$

Здесь:

$f(x) = x^2 — 1$ ,
$g(x) = x$ .

Теперь находим производные от этих функций:

Производная $f'(x) = (x^2 — 1)’ = 2x$ ,
Производная $g'(x) = (x)’ = 1$ .

Подставляем в формулу для производной:

$y'(x) = \frac{(2x) \cdot x — (x^2 — 1) \cdot 1}{x^2}$

Упростим числитель:

$y'(x) = \frac{2x^2 — (x^2 — 1)}{x^2} = \frac{2x^2 — x^2 + 1}{x^2}$ $y'(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2}$

Шаг 2: Промежуток возрастания и убывания

Теперь анализируем знак производной $y'(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2}$ .

Знак числителя: $x^2 + 1$ всегда положителен, так как $x^2 \geq 0$ для всех $x$ , и $x^2 + 1 > 0$ всегда.
Знак знаменателя: $x^2$ также всегда положителен при $x \neq 0$ , так как это квадрат.

Таким образом, $y'(x) > 0$ для всех $x \neq 0$ , что означает, что функция возрастает на всех интервалах, за исключением $x = 0$ , где она не определена.

Шаг 3: Выражение имеет смысл при

Функция имеет смысл при $x \neq 0$ , так как в точке $x = 0$ знаменатель равен нулю.

Шаг 4: Ответ

Функция возрастает на интервалах $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ .

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Задачи для внеклассной работы