ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1502 Алимов — Подробные Ответы

Записать уравнение касательной к графику функции f(x) = (x3+1)/3 в точке его пересечения с осью Ox.

Дана функция: $f(x) = \frac{x^3 + 1}{3}$;

Абсцисса пересечения графика функции с осью $Ox$ ($y = 0$):

$$\frac{x^3 + 1}{3} = 0;$$ $$x^3 + 1 = 0;$$ $$x^3 = -1, \text{ отсюда } x = -1;$$

Уравнение касательной:

$$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot ((x^3)’ + (1)’) = \frac{1}{3} \cdot (3x^2 + 0) = \frac{3x^2}{3} = x^2;$$ $$f'(-1) = (-1)^2 = 1;$$ $$f(-1) = \frac{(-1)^3 + 1}{3} = \frac{-1 + 1}{3} = \frac{0}{3} = 0;$$ $$y = 0 + 1(x + 1) = x + 1;$$

Ответ: $y = x + 1$.

Дана функция:

$$f(x) = \frac{x^3 + 1}{3}$$

Нужно найти абсциссу пересечения графика функции с осью $Ox$ и уравнение касательной к графику функции в точке пересечения с осью $Ox$.

1. Абсцисса пересечения графика функции с осью $Ox$

График функции пересекает ось $Ox$ там, где $y = 0$. То есть нам нужно решить уравнение:

$$f(x) = 0$$

Подставляем выражение для функции $f(x) = \frac{x^3 + 1}{3}$:

$$\frac{x^3 + 1}{3} = 0$$

Умножаем обе стороны на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$$x^3 + 1 = 0$$

Теперь решаем это уравнение:

$$x^3 = -1$$

Извлекаем кубический корень из обеих сторон:

$$x = -1$$

Таким образом, абсцисса точки пересечения графика функции с осью $Ox$ равна $x = -1$.

2. Нахождение уравнения касательной

Теперь нужно найти уравнение касательной к графику функции в точке $x_0 = -1$. Для этого нам понадобятся два элемента:

1. Координаты точки касания (находим $f(-1)$)
2. Угловой коэффициент касательной (находим $f'(-1)$)

2.1. Нахождение $f(-1)$

Подставляем $x = -1$ в выражение для функции:

$$f(x) = \frac{x^3 + 1}{3}$$

Подставляем $x = -1$:

$$f(-1) = \frac{(-1)^3 + 1}{3} = \frac{-1 + 1}{3} = \frac{0}{3} = 0$$

Таким образом, точка касания имеет координаты $(-1, 0)$.

2.2. Нахождение производной функции $f'(x)$

Для нахождения углового коэффициента касательной нужно найти производную функции $f(x)$.

Для этого используем правило дифференцирования выражений вида $\frac{P(x)}{Q(x)}$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — это полиномы. В нашем случае $P(x) = x^3 + 1$, а $Q(x) = 3$. Производная дроби будет вычисляться как производная числителя, деленная на константу 3.

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3 + 1}{3} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{dx} (x^3 + 1)$$

Теперь дифференцируем $x^3 + 1$:

$$\frac{d}{dx} (x^3 + 1) = 3x^2 + 0 = 3x^2$$

Таким образом, производная функции:

$$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$$

2.3. Нахождение углового коэффициента касательной

Теперь, чтобы найти угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = -1$, подставляем $x = -1$ в выражение для производной:

$$f'(-1) = (-1)^2 = 1$$

Таким образом, угловой коэффициент касательной $k = 1$.

2.4. Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции можно записать по формуле для касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0, f(x_0))$:

$$y — f(x_0) = f'(x_0) \cdot (x — x_0)$$

Мы знаем, что точка касания — это $(-1, 0)$, то есть $x_0 = -1$ и $f(x_0) = 0$. Подставляем эти значения в уравнение касательной:

$$y — 0 = 1 \cdot (x — (-1))$$

Упростим:

$$y = x + 1$$

3. Ответ

Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке $(-1, 0)$ имеет вид:

$$y = x + 1$$