ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1501 Алимов — Подробные Ответы

Найти угол между осью Ох и касательной к графику функции у = cos (3х — пи/6) в точке с абсциссой х = пи/3.

Дана функция $y = \frac{2}{3} \cos \left( 3x — \frac{\pi}{6} \right)$ и касательная в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Производная функции:

$$y'(x) = \frac{2}{3} \left( \cos \left( 3x — \frac{\pi}{6} \right) \right)’ = \frac{2}{3} \cdot (-3) \cdot \sin \left( 3x — \frac{\pi}{6} \right) = -2 \sin \left( 3x — \frac{\pi}{6} \right);$$ $$y’ \left( \frac{\pi}{3} \right) = -2 \sin \left( 3 \cdot \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{6} \right) = -2 \sin \left( \pi — \frac{\pi}{6} \right) = -2 \sin \frac{\pi}{6} = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1;$$

Угол между касательной и осью $Ox$:

$$a = \operatorname{arctg} k = \operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4};$$

Ответ: $a = -\frac{\pi}{4}$.

1. Дана функция:

$$y = \frac{2}{3} \cos \left( 3x — \frac{\pi}{6} \right)$$

Необходимо найти производную этой функции, чтобы потом найти угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

2. Находим производную функции:

Для того чтобы найти производную функции, будем использовать правило дифференцирования сложной функции. В данном случае мы имеем функцию в виде $y = A \cos(Bx + C)$, где $A = \frac{2}{3}$, $B = 3$, а $C = -\frac{\pi}{6}$.

Сначала напоминаем формулу для производной косинуса:

$$\frac{d}{dx} \left( \cos (f(x)) \right) = -\sin(f(x)) \cdot f'(x)$$

Теперь применим эту формулу к нашему случаю.

Дифференцируем внешний косинус:

$$\left( \cos \left( 3x — \frac{\pi}{6} \right) \right)’ = -\sin \left( 3x — \frac{\pi}{6} \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( 3x — \frac{\pi}{6} \right)$$

Производная от $3x — \frac{\pi}{6}$ по $x$ равна 3:

$$\frac{d}{dx} \left( 3x — \frac{\pi}{6} \right) = 3$$

Таким образом, производная функции $\cos \left( 3x — \frac{\pi}{6} \right)$ будет:

$$\left( \cos \left( 3x — \frac{\pi}{6} \right) \right)’ = -3 \sin \left( 3x — \frac{\pi}{6} \right)$$

Теперь возвращаемся к оригинальной функции. Умножим на коэффициент $\frac{2}{3}$:

$$y'(x) = \frac{2}{3} \cdot (-3) \cdot \sin \left( 3x — \frac{\pi}{6} \right) = -2 \sin \left( 3x — \frac{\pi}{6} \right)$$

Это и есть производная функции $y(x)$.

3. Вычисляем производную в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

Теперь, когда мы нашли производную, можем вычислить её в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$, чтобы получить угловой коэффициент касательной в этой точке.

Подставляем $x = \frac{\pi}{3}$ в выражение для производной:

$$y’ \left( \frac{\pi}{3} \right) = -2 \sin \left( 3 \cdot \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{6} \right)$$

Упрощаем выражение внутри синуса:

$$3 \cdot \frac{\pi}{3} = \pi, \quad \pi — \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$$

Подставляем это значение:

$$y’ \left( \frac{\pi}{3} \right) = -2 \sin \left( \frac{5\pi}{6} \right)$$

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что:

$$\sin \frac{5\pi}{6} = \sin \left( \pi — \frac{\pi}{6} \right) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Таким образом:

$$y’ \left( \frac{\pi}{3} \right) = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$$

Теперь мы знаем, что угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$ равен $-1$.

4. Находим угол между касательной и осью $Ox$:

Угловой коэффициент касательной $k = -1$ означает, что касательная наклонена под углом к оси $Ox$, и нам нужно найти этот угол.

Угол наклона прямой с угловым коэффициентом $k$ можно найти с помощью арктангенса:

$$a = \operatorname{arctg} (k)$$

Подставляем $k = -1$:

$$a = \operatorname{arctg} (-1)$$

Известно, что $\operatorname{arctg} (-1) = -\frac{\pi}{4}$.

5. Ответ:

Таким образом, угол между касательной и осью $Ox$ равен:

$$a = -\frac{\pi}{4}$$