ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 150 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что если каждая из функций f (х), g (х) и (р (х) определена на множестве X и ф (х)=/ 0 для всех х принадлежит X, то уравнения f (х) = g (х) и f(х) * ф (х) = g (х) * ф (х) равносильны.

Каждая из функций $f(x)$, $g(x)$ и $\varphi(x)$ определена на множестве $X$ и $\varphi(x) \neq 0$ для всех $x \in X$. Доказать равносильность уравнений:

$$f(x) = g(x) \quad \text{и} \quad f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x);$$

Преобразуем второе уравнение:

$$f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x);$$

$$f(x) \cdot \varphi(x) — g(x) \cdot \varphi(x) = 0;$$

$$\varphi(x) \cdot (f(x) — g(x)) = 0;$$

Согласно условию $\varphi(x) \neq 0$, значит:

$$f(x) — g(x) = 0;$$

$$f(x) = g(x);$$

Уравнения равносильны, что и требовалось доказать.

Задача: Каждая из функций $f(x)$, $g(x)$ и $\varphi(x)$ определена на множестве $X$ и $\varphi(x) \neq 0$ для всех $x \in X$. Необходимо доказать равносильность уравнений:

$$f(x) = g(x) \quad \text{и} \quad f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x).$$

Доказательство:

Предположение: Мы начинаем с того, что предполагаем истинность второго уравнения:

$$f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x).$$

Преобразование уравнения: Переносим все элементы, связанные с $f(x)$ и $g(x)$, на одну сторону уравнения:

$$f(x) \cdot \varphi(x) — g(x) \cdot \varphi(x) = 0.$$

Факторизация: Выносим общий множитель $\varphi(x)$ за скобки:

$$\varphi(x) \cdot (f(x) — g(x)) = 0.$$

Использование условия: Согласно условию задачи, нам известно, что $\varphi(x) \neq 0$ для всех $x \in X$. Это означает, что множитель $\varphi(x)$ не равен нулю и мы можем смело разделить обе части уравнения на $\varphi(x)$, не нарушая справедливости уравнения:

$$f(x) — g(x) = 0.$$

Заключение: Из уравнения $f(x) — g(x) = 0$ следует, что:

$$f(x) = g(x).$$

Таким образом, мы доказали, что если выполняется уравнение $f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x)$, то обязательно выполняется и уравнение $f(x) = g(x)$.

Обратное доказательство: Теперь докажем, что если выполняется $f(x) = g(x)$, то выполняется и $f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x)$.

Если $f(x) = g(x)$, то можем подставить $f(x)$ вместо $g(x)$ в правую часть уравнения:

$$f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x).$$

Таким образом, если $f(x) = g(x)$, то выражение $f(x) \cdot \varphi(x)$ равно $g(x) \cdot \varphi(x)$, что и требовалось доказать.

Заключение:

Мы доказали, что уравнения:

$$f(x) = g(x) \quad \text{и} \quad f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x)$$

равносильны.