ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 150 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что если каждая из функций f (х), g (х) и (р (х) определена на множестве X и ф (х)=/ 0 для всех х принадлежит X, то уравнения f (х) = g (х) и f(х) * ф (х) = g (х) * ф (х) равносильны.

Каждая из функций

$f(x)$

,

$g(x)$

и

$\varphi(x)$

определена на множестве

$X$

и

$\varphi(x) \neq 0$

для всех

$x \in X$

. Доказать равносильность уравнений:

$$f(x) = g(x) \quad \text{и} \quad f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x);$$

Преобразуем второе уравнение:

$$f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x);$$

$$f(x) \cdot \varphi(x) — g(x) \cdot \varphi(x) = 0;$$

$$\varphi(x) \cdot (f(x) — g(x)) = 0;$$

Согласно условию

$\varphi(x) \neq 0$

, значит:

$$f(x) — g(x) = 0;$$

$$f(x) = g(x);$$

Уравнения равносильны, что и требовалось доказать.

Задача: Каждая из функций

$f(x)$

,

$g(x)$

и

$\varphi(x)$

определена на множестве

$X$

и

$\varphi(x) \neq 0$

для всех

$x \in X$

. Необходимо доказать равносильность уравнений:

$$f(x) = g(x) \quad \text{и} \quad f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x).$$

Доказательство:

Предположение: Мы начинаем с того, что предполагаем истинность второго уравнения:

$$f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x).$$

Преобразование уравнения: Переносим все элементы, связанные с

$f(x)$

и

$g(x)$

, на одну сторону уравнения:

$$f(x) \cdot \varphi(x) — g(x) \cdot \varphi(x) = 0.$$

Факторизация: Выносим общий множитель

$\varphi(x)$

за скобки:

$$\varphi(x) \cdot (f(x) — g(x)) = 0.$$

Использование условия: Согласно условию задачи, нам известно, что

$\varphi(x) \neq 0$

для всех

$x \in X$

. Это означает, что множитель

$\varphi(x)$

не равен нулю и мы можем смело разделить обе части уравнения на

$\varphi(x)$

, не нарушая справедливости уравнения:

$$f(x) — g(x) = 0.$$

Заключение: Из уравнения

$f(x) — g(x) = 0$

следует, что:

$$f(x) = g(x).$$

Таким образом, мы доказали, что если выполняется уравнение

$f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x)$

, то обязательно выполняется и уравнение

$f(x) = g(x)$

.

Обратное доказательство: Теперь докажем, что если выполняется

$f(x) = g(x)$

, то выполняется и

$f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x)$

.

Если

$f(x) = g(x)$

, то можем подставить

$f(x)$

вместо

$g(x)$

в правую часть уравнения:

$$f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x).$$

Таким образом, если

$f(x) = g(x)$

, то выражение

$f(x) \cdot \varphi(x)$

равно

$g(x) \cdot \varphi(x)$

, что и требовалось доказать.

Заключение:

Мы доказали, что уравнения:

$$f(x) = g(x) \quad \text{и} \quad f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x)$$

равносильны.