ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1487 Алимов — Подробные Ответы

1. y= корень (log0,8(x2-5x+7));
2. y=корень (loh0,5(x2-9)).

$y = \sqrt{\log_{0.8}(x^2 — 5x + 7)}$;

Выражение имеет смысл при:
$x^2 — 5x + 7 > 0;$
$D = 5^2 — 4 \cdot 7 = 25 — 49 = -24 < 0;$
$a > 0$, значит $x$ — любое число;

Выражение имеет смысл при:
$\log_{0.8}(x^2 — 5x + 7) \geq 0;$
$\log_{0.8}(x^2 — 5x + 7) \geq \log_{0.8} 0.8^0;$
$x^2 — 5x + 7 \leq 1;$
$x^2 — 5x + 6 \leq 0;$
$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{ тогда: }$
$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \text{ и } x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;$
$(x — 2)(x — 3) \leq 0;$
$2 \leq x \leq 3;$
Ответ: $x \in [2; 3]$.

$y = \sqrt{\log_{0.5}(x^2 — 9)}$;

Выражение имеет смысл при:
$x^2 — 9 > 0;$
$(x + 3)(x — 3) > 0;$
$x < -3 \text{ и } x > 3;$

Выражение имеет смысл при:
$\log_{0.5}(x^2 — 9) \geq 0;$
$\log_{0.5}(x^2 — 9) \geq \log_{0.5}(0.5)^0;$
$x^2 — 9 \leq 1;$
$x^2 \leq 10;$
$-\sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10};$

Ответ: $x \in [-\sqrt{10}; -3) \cup (3; \sqrt{10}]$.

1)

Рассмотрим функцию:

$$y = \sqrt{\log_{0.8}(x^2 — 5x + 7)}$$

Цель: Найти область определения функции, т.е. все такие значения $x$, при которых выражение имеет смысл.

Шаг 1: Условия существования функции

Функция имеет вид корня квадратного из логарифма. Это значит, нужно проверить два условия:

1.1 Внутри логарифма — положительное число:

$$x^2 — 5x + 7 > 0$$

1.2 Выражение под корнем — неотрицательно:

$$\log_{0.8}(x^2 — 5x + 7) \geq 0$$

Решение условия 1.1:

$$x^2 — 5x + 7 > 0$$

Это — квадратичное неравенство. Для начала найдём дискриминант, чтобы узнать, есть ли корни:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 — 28 = -3 < 0$$

Так как дискриминант меньше нуля, у уравнения нет вещественных корней. А коэффициент при $x^2$ равен 1 (то есть $a > 0$), значит парабола находится выше оси Ox, и всё выражение всегда положительно.

Итог:

$$x^2 — 5x + 7 > 0 \quad \text{при всех } x \in \mathbb{R}$$

Решение условия 1.2:

$$\log_{0.8}(x^2 — 5x + 7) \geq 0$$

Пояснение:

Основание логарифма: $0.8 \in (0, 1)$, это меньше 1.
Важно: при основании меньше 1 (логарифм убывает), знак неравенства меняется, если мы переходим к показательной форме.

Перепишем неравенство:

$$\log_{0.8}(x^2 — 5x + 7) \geq \log_{0.8}(1) = 0$$ $$x^2 — 5x + 7 \leq 1$$

Перенесём 1 влево:

$$x^2 — 5x + 6 \leq 0$$

Это снова квадратное неравенство. Найдём его корни:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$ $$x_{1} = \frac{5 — 1}{2} = 2, \quad x_{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Теперь определим знак выражения $x^2 — 5x + 6$ на числовой прямой:

Парабола с ветвями вверх, значит:

• $x^2 — 5x + 6 > 0$ на интервалах $(-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$
• $x^2 — 5x + 6 \leq 0$ на отрезке $[2, 3]$

Итог по условию 1.2:

$$x \in [2; 3]$$

Итоговое решение для задания 1:

Условие 1.1 даёт: $x \in \mathbb{R}$ (всё множество)

Условие 1.2 даёт: $x \in [2; 3]$

Область определения — пересечение:

$$\boxed{x \in [2; 3]}$$

2)

Рассмотрим вторую функцию:

$$y = \sqrt{\log_{0.5}(x^2 — 9)}$$

Шаг 1: Условия существования функции

Аналогично предыдущей части:

2.1 Подлогарифмическое выражение должно быть > 0:

$$x^2 — 9 > 0$$

2.2 Значение логарифма (под корнем) должно быть ≥ 0:

$$\log_{0.5}(x^2 — 9) \geq 0$$

Решение условия 2.1:

$$x^2 — 9 > 0 \quad \Rightarrow \quad (x — 3)(x + 3) > 0$$

Метод интервалов:

Корни: $x = -3$, $x = 3$

Знаки:

• $(-∞, -3)$ — $+$
• $(-3, 3)$ — $−$
• $(3, ∞)$ — $+$

Условие: $> 0$

Ответ:

$$x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$$

Решение условия 2.2:

$$\log_{0.5}(x^2 — 9) \geq 0 \Rightarrow x^2 — 9 \leq 1 \Rightarrow x^2 \leq 10 \Rightarrow x \in [-\sqrt{10}; \sqrt{10}]$$

Шаг 2: Объединяем оба условия

1. $x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$
2. $x \in [-\sqrt{10}; \sqrt{10}]$

Пересекаем множества:

• Для отрицательных $x$:
  $(-\infty, -3) \cap [-\sqrt{10}; \sqrt{10}] = [-\sqrt{10}, -3)$
• Для положительных $x$:
  $(3, +\infty) \cap [-\sqrt{10}; \sqrt{10}] = (3, \sqrt{10}]$

Ответ для задания 2:

$$\boxed{x \in [-\sqrt{10}; -3) \cup (3; \sqrt{10}]}$$