ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1486 Алимов — Подробные Ответы

1. $y = \sqrt{\frac{x^2 — 6x — 16}{x^2 — 12x + 11}}$;
2. $y = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x — 3) — 1}$

1) $y = \sqrt{\frac{x^2 — 6x — 16}{x^2 — 12x + 11}}$;

Разложим многочлен в знаменателе дроби на множители:
$x^2 — 12x + 11 = 0;$
$D = 12^2 — 4 \cdot 11 = 144 — 44 = 100, \text{ тогда:}$
$x_1 = \frac{12 — 10}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{12 + 10}{2} = 11;$
$(x — 1)(x — 11) = 0;$

Разложим многочлен в числителе дроби на множители:
$x^2 — 6x — 16 = 0;$
$D = 6^2 + 4 \cdot 16 = 36 + 64 = 100, \text{ тогда:}$
$x_1 = \frac{6 — 10}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6 + 10}{2} = 8;$
$(x + 2)(x — 8) = 0;$

Получим функцию:
$y = \sqrt{\frac{(x + 2)(x — 8)}{(x — 1)(x — 11)}};$

Выражение имеет смысл при:
$(x + 2)(x — 1)(x — 8)(x — 11) \geq 0;$
$x \leq -2, \, 1 < x \leq 8, \, x > 11;$
Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup (1; 8] \cup (11; +\infty)$.

2) $y = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x — 3) — 1}$;

Выражение имеет смысл при:
$x — 3 > 0, \text{ отсюда } x > 3;$

Выражение имеет смысл при:
$\log_{\frac{1}{2}}(x — 3) — 1 \geq 0;$
$\log_{\frac{1}{2}}(x — 3) \geq 1;$
$\log_{\frac{1}{2}}(x — 3) \geq \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^1;$
$x — 3 \leq \frac{1}{2}, \text{ отсюда } x \leq 3 \frac{1}{2};$

Ответ: $x \in \left(3; 3 \frac{1}{2}\right]$.

1)

Исследуем функцию:

$$y = \sqrt{\frac{x^2 — 6x — 16}{x^2 — 12x + 11}}$$

Чтобы это выражение имело смысл (существовало), нужно:

Выражение под корнем должно быть неотрицательным (так как корень квадратный из отрицательного числа не определён на множестве вещественных чисел):

$$\frac{x^2 — 6x — 16}{x^2 — 12x + 11} \geq 0$$

Знаменатель не должен обращаться в ноль, потому что на ноль делить нельзя:

$$x^2 — 12x + 11 \neq 0$$

Шаг 1: Разложим числитель на множители

Рассмотрим квадратный трёхчлен:

$$x^2 — 6x — 16$$

Это выражение можно разложить на множители, предварительно найдя корни:

• Найдём дискриминант:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$$

• Корни:

$$x_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 10}{2} = -2$$ $$x_2 = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

• Разложение:

$$x^2 — 6x — 16 = (x + 2)(x — 8)$$

Шаг 2: Разложим знаменатель на множители

$$x^2 — 12x + 11$$

• Дискриминант:

$$D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 11 = 144 — 44 = 100$$

• Корни:

$$x_1 = \frac{12 — 10}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{12 + 10}{2} = 11$$

• Разложение:

$$x^2 — 12x + 11 = (x — 1)(x — 11)$$

Шаг 3: Перепишем функцию

Подставим разложения числителя и знаменателя:

$$y = \sqrt{\frac{(x + 2)(x — 8)}{(x — 1)(x — 11)}}$$

Шаг 4: Найдём область определения

Функция определена, если:

$$\frac{(x + 2)(x — 8)}{(x — 1)(x — 11)} \geq 0 \quad \text{и} \quad (x — 1)(x — 11) \neq 0$$

То есть:

• Выражение под корнем — неотрицательно;
• Знаменатель не равен нулю: $x \ne 1$, $x \ne 11$.

Шаг 5: Метод интервалов

Запишем все важные точки — корни числителя и знаменателя:

• $x = -2$ (корень числителя)
• $x = 1$ (корень знаменателя)
• $x = 8$ (корень числителя)
• $x = 11$ (корень знаменателя)

Отметим их на числовой прямой и рассмотрим знаки на интервалах:

Разбиваем числовую прямую на интервалы:

1. $(-\infty, -2)$
2. $(-2, 1)$
3. $(1, 8)$
4. $(8, 11)$
5. $(11, +\infty)$

Выберем по одной пробной точке из каждого интервала и определим знак выражения:

Теперь проверим граничные точки:

• $x = -2$: числитель 0 ⇒ всё выражение = 0 ⇒ √0 = 0 — подходит
• $x = 1$: знаменатель = 0 ⇒ не подходит
• $x = 8$: числитель 0 ⇒ √0 = 0 — подходит
• $x = 11$: знаменатель = 0 ⇒ не подходит

Шаг 6: Ответ

Выражение определено при:

$$x \in (-\infty, -2] \cup (1, 8] \cup (11, +\infty)$$

Ответ (1):

$$\boxed{x \in (-\infty; -2] \cup (1; 8] \cup (11; +\infty)}$$

2)

Исследуем функцию:

$$y = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x — 3) — 1}$$

Чтобы функция существовала, необходимо:

Внутри логарифма должно быть положительное число:

$$x — 3 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 3$$

Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$\log_{\frac{1}{2}}(x — 3) — 1 \geq 0 \Rightarrow \log_{\frac{1}{2}}(x — 3) \geq 1$$

Шаг 1: Решим неравенство с логарифмом

$$\log_{\frac{1}{2}}(x — 3) \geq 1$$

Поскольку основание $\frac{1}{2}$ < 1, знак неравенства меняется при переходе к показательной форме:

$$x — 3 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2} \Rightarrow x \leq 3.5$$

Шаг 2: Учтём оба условия

1. $x > 3$
2. $x \leq 3.5$

Обе части работают вместе, поэтому:

$$x \in (3; 3.5]$$

Ответ (2):

$$\boxed{x \in \left(3; 3 \frac{1}{2}\right]}$$