ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1485 Алимов — Подробные Ответы

1. $y = \sqrt{\frac{x-3}{x+3}}$;
2. $y = \sqrt{\log_3 \frac{2x+1}{x-6}}$

$y = \sqrt{\frac{x-3}{x+3}}$;

Выражение имеет смысл при:

$$\frac{x-3}{x+3} \geq 0;$$ $$(x+3)(x-3) \geq 0;$$ $$x < -3 \text{ и } x \geq 3;$$

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup [3; +\infty)$.

$y = \sqrt{\log_3 \frac{2x+1}{x-6}}$;

Выражение имеет смысл при:

$$\frac{2x+1}{x-6} > 0;$$ $$(2x+1)(x-6) > 0;$$ $$x < -\frac{1}{2} \text{ и } x > 6;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\log_3 \frac{2x+1}{x-6} \geq 0;$$ $$\log_3 \frac{2x+1}{x-6} \geq \log_3 3^0;$$ $$\frac{2x+1}{x-6} \geq 1 \quad | \cdot (x-6)^2;$$ $$(2x+1)(x-6) \geq (x-6)^2;$$ $$(2x+1)(x-6) — (x-6)^2 \geq 0;$$ $$(x-6)\big((2x+1)-(x-6)\big) \geq 0;$$ $$(x-6)(2x+1-x+6) \geq 0;$$ $$(x-6)(x+7) \geq 0;$$ $$x \leq -7 \text{ и } x > 6;$$

Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup (6; +\infty)$.

Задача 1

Дано выражение:

$$y = \sqrt{\frac{x-3}{x+3}}$$

Чтобы определить, при каких значениях $x$ это выражение имеет смысл, нужно разобраться с двумя моментами:

Аргумент квадратного корня $\frac{x-3}{x+3}$ должен быть неотрицательным, то есть:

$$\frac{x-3}{x+3} \geq 0$$

Множитель в знаменателе $x + 3$ не может быть равен нулю, то есть $x \neq -3$, иначе выражение будет неопределено.

Шаг 1. Найдем, при каких значениях $x$ выражение $\frac{x-3}{x+3}$ неотрицательно.

Рассмотрим неравенство:

$$\frac{x-3}{x+3} \geq 0$$

Так как дробь $\frac{x-3}{x+3}$ может быть положительной или нулевой, это неравенство означает, что числитель и знаменатель должны быть одного знака (или оба положительные, или оба отрицательные), либо числитель равен нулю. Разберем на интервалы.

Неравенство можно решить с использованием знаков выражений в числителе и знаменателе.

1. Для того чтобы дробь $\frac{x-3}{x+3} \geq 0$, нужно, чтобы оба множителя — $(x-3)$ и $(x+3)$ — имели одинаковые знаки.
2. Рассмотрим точки, при которых числитель и знаменатель равны нулю:
   • $x-3 = 0 \Rightarrow x = 3$
   • $x+3 = 0 \Rightarrow x = -3$

Таким образом, нам нужно исследовать знаки числителя и знаменателя на интервалах, которые определяются этими точками: $(-\infty, -3)$, $(-3, 3)$, и $(3, \infty)$.

Знаки на интервалах:

• На интервале $(-\infty, -3)$ и $(3, \infty)$ числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (оба отрицательные или оба положительные), то есть дробь положительна.
• На интервале $(-3, 3)$ числитель и знаменатель имеют противоположные знаки, дробь отрицательна.

Также важно учесть, что $x = -3$ — это точка, где дробь не определена (ноль в знаменателе).

Ответ по интервалам:

$$x \in (-\infty; -3) \cup [3; +\infty)$$

Таким образом, выражение имеет смысл при $x \in (-\infty; -3) \cup [3; +\infty)$.

Задача 2

Дано выражение:

$$y = \sqrt{\log_3 \frac{2x+1}{x-6}}$$

Здесь необходимо учесть два условия:

Аргумент логарифма $\frac{2x+1}{x-6}$ должен быть положительным:

$$\frac{2x+1}{x-6} > 0$$

Логарифм сам по себе должен быть неотрицательным, то есть:

$$\log_3 \frac{2x+1}{x-6} \geq 0$$

Шаг 1. Решим неравенство $\frac{2x+1}{x-6} > 0$

Рассмотрим выражение:

$$\frac{2x+1}{x-6} > 0$$

Чтобы дробь была положительной, необходимо, чтобы числитель и знаменатель имели одинаковые знаки.

Найдем критические точки:

1. $2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$
2. $x — 6 = 0 \Rightarrow x = 6$

Теперь разберем знаки на интервалах, образованных этими точками: $(-\infty, -\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}, 6)$, и $(6, \infty)$.

Знаки на интервалах:

• На интервале $(-\infty, -\frac{1}{2})$ числитель и знаменатель отрицательны, дробь положительна.
• На интервале $(-\frac{1}{2}, 6)$ числитель положительный, знаменатель отрицательный, дробь отрицательна.
• На интервале $(6, \infty)$ числитель и знаменатель положительные, дробь положительна.

Ответ:

$$x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (6; +\infty)$$

Шаг 2. Логарифм $\log_3 \frac{2x+1}{x-6}$ должен быть неотрицательным

Для того чтобы логарифм был неотрицательным:

$$\log_3 \frac{2x+1}{x-6} \geq 0$$

Это означает:

$$\frac{2x+1}{x-6} \geq 1$$

Решим это неравенство:

$$\frac{2x+1}{x-6} \geq 1 \quad | \cdot (x-6)$$

Умножим обе части на $x-6$, при этом учитываем знак выражения:

$$(2x+1)(x-6) \geq (x-6)^2$$

Решим неравенство:

$$(2x+1)(x-6) — (x-6)^2 \geq 0$$

Преобразуем:

$$(x-6)\big((2x+1)-(x-6)\big) \geq 0$$ $$(x-6)(2x+1-x+6) \geq 0$$ $$(x-6)(x+7) \geq 0$$

Теперь решим это неравенство. Нужно найти, при каких $x$ произведение двух множителей $(x-6)(x+7)$ неотрицательно.

1. Критические точки: $x = 6$ и $x = -7$.
2. Знаки на интервалах:
   • На интервале $(-\infty, -7)$ оба множителя отрицательны, произведение положительно.
   • На интервале $(-7, 6)$ один множитель отрицателен, другой положителен, произведение отрицательно.
   • На интервале $(6, \infty)$ оба множителя положительны, произведение положительно.

Ответ:

$$x \in (-\infty; -7] \cup (6; +\infty)$$

Итоговый ответ:

1. Для выражения $y = \sqrt{\frac{x-3}{x+3}}$ область определения: $x \in (-\infty; -3) \cup [3; +\infty)$.
2. Для выражения $y = \sqrt{\log_3 \frac{2x+1}{x-6}}$ область определения: $x \in (-\infty; -7] \cup (6; +\infty)$.