ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1483 Алимов — Подробные Ответы

Построить график функции:

1. у = 2(x-1) — 3;
2. у = log2 (х + 2) + 3.

1) $y = 2^{x-1} — 3$

Область определения функции:

$D(x) = (-\infty; +\infty);$

Предел функции:

$\lim_{x \to \infty} (2^{x-1} — 3) = 0 — 3 = -3;$

Производная функции:

$y'(x) = (2^{x-1})’ — (3)’ = 2^{x-1} \cdot \ln 2 > 0;$

Функция возрастает на всей числовой прямой;

Область значений функции:

$E(y) = (-3; +\infty);$

Координаты некоторых точек:

График функции:

2) $y = \log_2(x + 2) + 3$

Область определения функции:

$x + 2 > 0, \text{отсюда } x > -2;$
$D(x) = (-2; +\infty);$

Предел функции:

$\lim_{x \to \infty} (\log_2(x + 2) + 3) \text{ — не существует};$

Производная функции:

$y'(x) = (\log_2(x + 2))’ + (3)’ = \frac{1}{(x + 2) \cdot \ln 2};$

Промежуток возрастания:

$x + 2 > 0, \text{отсюда } x > -2;$

Область значений функции:

$E(y) = (-\infty; +\infty);$

Координаты некоторых точек:

График функции:

1) $y = 2^{x-1} — 3$

1.1: Область определения функции

Функция $y = 2^{x-1} — 3$ представляет собой экспоненциальную функцию $2^{x-1}$, которая определена для всех $x \in (-\infty; +\infty)$. К этому прибавляется константа $-3$, которая также не влияет на область определения. Следовательно, область определения функции:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

1.2: Предел функции при $x \to \infty$

Теперь вычислим предел функции при $x \to \infty$. Рассмотрим выражение:

$$\lim_{x \to \infty} (2^{x-1} — 3)$$

При $x \to \infty$, экспоненциальная функция $2^{x-1}$ стремится к $\infty$, поэтому:

$$\lim_{x \to \infty} (2^{x-1} — 3) = \infty — 3 = \infty$$

Таким образом, предел функции при $x \to \infty$ равен $\infty$.

1.3: Производная функции

Найдем производную функции $y = 2^{x-1} — 3$. Производная экспоненциальной функции $2^x$ по $x$ равна $2^x \ln 2$. Для функции $2^{x-1}$ производная будет такой же, с поправкой на множитель $x-1$:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}\left(2^{x-1} — 3\right) = 2^{x-1} \ln 2$$

Так как $2^{x-1} > 0$ для всех $x$, и $\ln 2 > 0$, производная функции всегда положительна:

$$y'(x) = 2^{x-1} \ln 2 > 0$$

Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.

1.4: Область значений функции

Экспоненциальная функция $2^{x-1}$ принимает значения от $0$ до $+\infty$, а затем вычитается 3. Это означает, что функция $y = 2^{x-1} — 3$ будет принимать значения от $-3$ до $+\infty$.

Таким образом, область значений функции:

$$E(y) = (-3; +\infty)$$

1.5: Координаты точек пересечения с осями

Пересечение с осью $Oy$ (когда $x = 0$):

Подставим $x = 0$ в уравнение функции:

$$y(0) = 2^{0-1} — 3 = 2^{-1} — 3 = \frac{1}{2} — 3 = -2.5$$

Таким образом, точка пересечения с осью $Oy$ — это $(0, -2.5)$.

Пересечение с осью $Ox$ (когда $y = 0$):

Найдем, при каком $x$ функция пересекает ось $Ox$, то есть решим уравнение $y = 0$:

$$2^{x-1} — 3 = 0$$ $$2^{x-1} = 3$$ $$x — 1 = \log_2(3)$$ $$x = \log_2(3) + 1$$

Таким образом, точка пересечения с осью $Ox$ находится в точке $\left( \log_2(3) + 1, 0 \right)$, что примерно равно $(2.585, 0)$.

1.6: Координаты некоторых точек

Вычислим несколько значений функции для разных $x$:

• $x = 0$: $y(0) = -2.5$
• $x = 1$: $y(1) = 2^{1-1} — 3 = 1 — 3 = -2$
• $x = 2$: $y(2) = 2^{2-1} — 3 = 2 — 3 = -1$
• $x = 3$: $y(3) = 2^{3-1} — 3 = 4 — 3 = 1$
• $x = 4$: $y(4) = 2^{4-1} — 3 = 8 — 3 = 5$

Таблица координат некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & -2.5 & -2 & -1 & 1 & 5 \\ \hline \end{array}$$

1.7: График функции

2) $y = \log_2(x + 2) + 3$

2.1: Область определения функции

Для того чтобы функция $y = \log_2(x + 2) + 3$ была определена, выражение под логарифмом должно быть больше нуля:

$$x + 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -2$$

Таким образом, область определения функции:

$$D(x) = (-2; +\infty)$$

2.2: Предел функции при $x \to \infty$

Найдем предел функции при $x \to \infty$:

$$\lim_{x \to \infty} \left( \log_2(x + 2) + 3 \right) = \lim_{x \to \infty} \log_2(x + 2) + 3 = \infty + 3 = \infty$$

Предел функции при $x \to \infty$ равен $\infty$.

2.3: Производная функции

Теперь найдем производную функции $y = \log_2(x + 2) + 3$:

$$y'(x) = \frac{1}{(x + 2) \ln 2}$$

Поскольку $x + 2 > 0$ на всей области определения, производная всегда положительна. Следовательно, функция возрастает на интервале $(-2; +\infty)$.

2.4: Область значений функции

Логарифм с основанием 2 $\log_2(x + 2)$ может принимать любые значения от $-\infty$ до $+\infty$, а прибавленная константа $+3$ сдвигает эту область на 3 единицы вверх. Таким образом, область значений функции:

$$E(y) = (-\infty; +\infty)$$

2.5: Координаты точек пересечения с осями

Пересечение с осью $Oy$ (когда $x = 0$):

Подставим $x = 0$ в уравнение функции:

$$y(0) = \log_2(0 + 2) + 3 = \log_2 2 + 3 = 1 + 3 = 4$$

Таким образом, точка пересечения с осью $Oy$ — это $(0, 4)$.

2.6: Координаты некоторых точек

Вычислим значения функции для различных $x$:

• $x = -1$: $y(-1) = \log_2(-1 + 2) + 3 = \log_2 1 + 3 = 0 + 3 = 3$
• $x = 0$: $y(0) = 4$
• $x = 2$: $y(2) = \log_2(2 + 2) + 3 = \log_2 4 + 3 = 2 + 3 = 5$
• $x = 6$: $y(6) = \log_2(6 + 2) + 3 = \log_2 8 + 3 = 3 + 3 = 6$

Таблица координат некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c} \hline x & -1 & 0 & 2 & 6 \\ \hline y & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \end{array}$$

2.7: График функции

$(0, 4), (-1, 3), (2, 5), (6, 6)$