ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1482 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Выяснить основные свойства функции и построить её график:

у = Зх+1;
у = log2 (х + 1);
у = log1/3 (х- 1).

Краткий ответ:

1)

$y = 3^x + 1$

Функция ни четная, ни нечетная:
$y(-x) = 3^{-x} + 1 = \frac{1}{3^x} + 1$
Область определения функции:
$D(x) = (-\infty; +\infty)$
Предел функции:
$\lim_{x \to \infty} (3^x + 1) = 0 + 1 = 1$
Производная функции:
$y'(x) = (3^x)’ + (1)’ = 3^x \cdot \ln 3 > 0$
- Функция возрастает на всей числовой прямой.
Область значений функции:
$E(y) = (1; +\infty)$
Пересечение с осью $Oy$ ( $x = 0$ ):
$y = 3^0 + 1 = 1 + 1 = 2$
Координаты некоторых точек:
$\begin{array}{c|c|c|c} x & -2 & 1 & 2 \\ \hline y & 1,1 & 4 & 10 \\ \end{array}$

График функции:

2) $y = \log_2(x + 1)$

Функция ни четная, ни нечетная:
$y(-x) = \log_2(-x + 1) = \log_2(1 — x)$
Область определения функции:
$x + 1 > 0, \text{ отсюда } x > -1$ $D(x) = (-1; +\infty)$
Предел функции:
$\lim_{x \to \infty} (\log_2(x + 1)) \text{ — не существует}$
Производная функции:
$y'(x) = (\log_2(x + 1))’ = \frac{1}{(x + 1) \cdot \ln 2}$
Промежуток возрастания:
$x + 1 > 0, \text{ отсюда } x > -1$
Область значений функции:
$E(y) = (-\infty; +\infty)$
Пересечение с осью $Oy$ ( $x = 0$ ):
$y = \log_2(0 + 1) = \log_2 1 = 0$
Координаты некоторых точек:
$\begin{array}{c|c|c|c} x & 1 & 3 & 7 \\ \hline y & 1 & 2 & 3 \\ \end{array}$

График функции:

3) $y = \log_{\frac{1}{3}}(x — 1)$

Функция ни четная, ни нечетная:
$y(-x) = \log_{\frac{1}{3}}(-x — 1)$
Область определения функции:
$x — 1 > 0, \text{ отсюда } x > 1$ $D(x) = (1; +\infty)$
Предел функции:
$\lim_{x \to \infty} \left( \log_{\frac{1}{3}}(x — 1) \right) \text{ — не существует}$
Производная функции:
$y'(x) = \left( \log_{\frac{1}{3}}(x — 1) \right)’ = \frac{1}{(x — 1) \cdot \ln \frac{1}{3}}$
Промежуток убывания:
$(x — 1) \cdot \ln \frac{1}{3} < 0$ $x — 1 > 0, \text{ отсюда } x > 1$
Область значений функции:
$E(y) = (-\infty; +\infty)$
Пересечение с осью $Ox$ ( $y = 0$ ):
$\log_{\frac{1}{3}}(x — 1) = 0$ $x — 1 = 1, \text{ отсюда } x = 2$
Координаты некоторых точек:
$\begin{array}{c|c|c} x & 4 & 10 \\ \hline y & -1 & -2 \\ \end{array}$

График функции:

Подробный ответ:

Даны три функции:

$y = 3^x + 1$
$y = \log_2(x + 1)$
$y = \log_{\frac{1}{3}}(x — 1)$

Мы проведем подробное исследование каждой из этих функций, а именно:

Проверим, является ли функция четной или нечетной.
Найдем область определения.
Определим пределы функции при $x \to \infty$ .
Найдем производную функции.
Проанализируем монотонность функции.
Определим область значений.
Найдем координаты точек пересечения с осями.
Построим графики.

1) $y = 3^x + 1$

1.1: Исследуем на четность и нечетность

Для проверки, является ли функция четной или нечетной, нужно исследовать, что происходит с функцией при замене $x$ на $-x$ .

Функция четная, если $y(-x) = y(x)$ , и нечетная, если $y(-x) = -y(x)$ .

Подставим $-x$ в уравнение:

$y(-x) = 3^{-x} + 1 = \frac{1}{3^x} + 1$

Это выражение не совпадает с $y(x) = 3^x + 1$ , следовательно, функция ни четная, ни нечетная.

1.2: Область определения функции

Функция $y = 3^x + 1$ представляет собой сумму экспоненциальной функции и константы. Экспоненциальная функция $3^x$ определена для всех значений $x$ . Следовательно, область определения всей функции:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$

1.3: Предел функции при $x \to \infty$

Найдем предел функции $y = 3^x + 1$ при $x \to \infty$ .

$\lim_{x \to \infty} (3^x + 1) = \lim_{x \to \infty} 3^x + \lim_{x \to \infty} 1 = \infty + 1 = \infty$

Таким образом, предел функции при $x \to \infty$ равен $\infty$ .

1.4: Производная функции

Найдем производную функции $y = 3^x + 1$ .

$y'(x) = (3^x)’ + (1)’ = 3^x \ln 3 + 0 = 3^x \ln 3$

Поскольку $3^x > 0$ для всех $x$ , а $\ln 3 > 0$ , производная всегда положительна. Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.

1.5: Область значений функции

Поскольку $3^x$ — это всегда положительная функция, а $3^x \to 0$ при $x \to -\infty$ , то функция $y = 3^x + 1$ будет всегда больше 1. Следовательно, область значений функции:

$E(y) = (1; +\infty)$

1.6: Пересечение с осью $Oy$ ( $x = 0$ )

Чтобы найти точку пересечения с осью $Oy$ , подставим $x = 0$ в уравнение функции:

$y(0) = 3^0 + 1 = 1 + 1 = 2$

Точка пересечения с осью $Oy$ : $(0, 2)$ .

1.7: Координаты некоторых точек

Найдем значения функции для различных $x$ :

$x = -2$ : $y(-2) = 3^{-2} + 1 = \frac{1}{9} + 1 = 1.1$
$x = 1$ : $y(1) = 3^1 + 1 = 3 + 1 = 4$
$x = 2$ : $y(2) = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$

Таблица координат некоторых точек:

$\begin{array}{|c|c|c|c} \hline x & -2 & 1 & 2 \\ \hline y & 1.1 & 4 & 10 \\ \hline \end{array}$

1.8: График функции

2) $y = \log_2(x + 1)$

2.1: Исследуем на четность и нечетность

Подставим $-x$ в уравнение функции:

$y(-x) = \log_2(-x + 1) = \log_2(1 — x)$

Это выражение не совпадает с $y(x) = \log_2(x + 1)$ , следовательно, функция ни четная, ни нечетная.

2.2: Область определения функции

Функция $y = \log_2(x + 1)$ определена только для значений $x + 1 > 0$ , то есть $x > -1$ . Следовательно, область определения функции:

$D(x) = (-1; +\infty)$

2.3: Предел функции при $x \to \infty$

Предел функции $y = \log_2(x + 1)$ при $x \to \infty$ не существует, так как логарифм стремится к $\infty$ при $x \to \infty$ :

$\lim_{x \to \infty} \log_2(x + 1) = \infty$

2.4: Производная функции

Найдем производную функции $y = \log_2(x + 1)$ . Для этого используем правило дифференцирования логарифма с основанием 2:

$y'(x) = \frac{1}{(x + 1) \ln 2}$

Так как $x + 1 > 0$ на области определения функции, производная всегда положительна. Это значит, что функция возрастает на всей своей области.

2.5: Область значений функции

Логарифм может принимать любые значения, начиная от $-\infty$ и до $+\infty$ , так как функция определена на интервале $(-1; +\infty)$ . Следовательно, область значений:

$E(y) = (-\infty; +\infty)$

2.6: Пересечение с осью $Oy$ ( $x = 0$ )

Подставим $x = 0$ в уравнение функции:

$y = \log_2(0 + 1) = \log_2 1 = 0$

Точка пересечения с осью $Oy$ : $(0, 0)$ .

2.7: Координаты некоторых точек

Найдем значения функции для различных $x$ :

$x = 1$ : $y(1) = \log_2(1 + 1) = \log_2 2 = 1$
$x = 3$ : $y(3) = \log_2(3 + 1) = \log_2 4 = 2$
$x = 7$ : $y(7) = \log_2(7 + 1) = \log_2 8 = 3$

Таблица координат некоторых точек:

$\begin{array}{|c|c|c|c} \hline x & 1 & 3 & 7 \\ \hline y & 1 & 2 & 3 \\ \hline \end{array}$

2.8: График функции

3) $y = \log_{\frac{1}{3}}(x — 1)$

3.1: Исследуем на четность и нечетность

Подставим $-x$ в уравнение функции:

$y(-x) = \log_{\frac{1}{3}}(-x — 1)$

Это выражение не совпадает с $y(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x — 1)$ , следовательно, функция ни четная, ни нечетная.

3.2: Область определения функции

Функция $y = \log_{\frac{1}{3}}(x — 1)$ определена для значений $x — 1 > 0$ , то есть $x > 1$ . Следовательно, область определения функции:

$D(x) = (1; +\infty)$

3.3: Предел функции при $x \to \infty$

Предел функции $y = \log_{\frac{1}{3}}(x — 1)$ при $x \to \infty$ не существует, так как логарифм с основанием $\frac{1}{3}$ стремится к $-\infty$ при $x \to \infty$ :

$\lim_{x \to \infty} \log_{\frac{1}{3}}(x — 1) = -\infty$

3.4: Производная функции

Найдем производную функции $y = \log_{\frac{1}{3}}(x — 1)$ . Используем правило дифференцирования логарифма с основанием $\frac{1}{3}$ :

$y'(x) = \frac{1}{(x — 1) \ln \frac{1}{3}} = -\frac{1}{(x — 1) \ln 3}$

Поскольку $x > 1$ , производная всегда отрицательна, что означает, что функция убывает на всей области.

3.5: Область значений функции

Функция принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$ , так как логарифм с основанием $\frac{1}{3}$ может принимать любые значения. Следовательно, область значений функции:

$E(y) = (-\infty; +\infty)$

3.6: Пересечение с осью $Ox$ ( $y = 0$ )

Найдем точку пересечения с осью $Ox$ , то есть решим уравнение $\log_{\frac{1}{3}}(x — 1) = 0$ :

$x — 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 2$

Точка пересечения с осью $Ox$ : $(2, 0)$ .

3.7: Координаты некоторых точек

Найдем значения функции для различных $x$ :

$x = 4$ : $y(4) = \log_{\frac{1}{3}}(4 — 1) = \log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$
$x = 10$ : $y(10) = \log_{\frac{1}{3}}(10 — 1) = \log_{\frac{1}{3}} 9 = -2$

Таблица координат некоторых точек:

$\begin{array}{|c|c|c} \hline x & 4 & 10 \\ \hline y & -1 & -2 \\ \hline \end{array}$

3.8: График функции

$(2, 0), (4, -1), (10, -2)$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Задачи для внеклассной работы