ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 148 Алимов — Подробные Ответы

1. 3/(x-1) — (4x-1)/(x+1) = (x2+5)/(x2-1) — 5;
2. (x+2)/(x-2) — (x(x-4))/(x2-4) = (x-2)/(x+2) — (4(3+x))/(4-x2).

1)

$$\frac{3}{x-1} — \frac{4x-1}{x+1} = \frac{x^2 + 5}{x^2 — 1} — 5;$$

$$\frac{3(x+1) — (4x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2 + 5 — 5(x^2 — 1)}{x^2 — 1};$$

$$\frac{3x + 3 — 4x^2 + x + 4x — 1}{x^2 — 1} = \frac{x^2 + 5 — 5x^2 + 5}{x^2 — 1};$$

$$\frac{-4x^2 + 8x + 2}{x^2 — 1} = \frac{-4x^2 + 10}{x^2 — 1};$$

$$\frac{8x — 8}{x^2 — 1} = 0;$$

$$\frac{8(x — 1)}{(x — 1)(x + 1)} = 0;$$

$$\frac{8}{x + 1} = 0;$$

Ответ: корней нет.

2)

$$\frac{x+2}{x-2} \cdot \frac{x(x-4)}{x^2-4} = \frac{x-2}{x+2} — \frac{4(3+x)}{4-x^2};$$

$$\frac{x+2}{x-2} \cdot \frac{x(x-4)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-2}{x+2} + \frac{4(3+x)}{x^2-4};$$

$$\frac{(x+2)^2 — (x-2)^2}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2 — 4x + 12 + 4x — 4}{x^2 — 4};$$

$$\frac{x^2 + 4x + 4 — x^2 + 4x — 4}{x^2 — 4} = \frac{x^2 + 12}{x^2 — 4};$$

$$\frac{x^2 — 8x + 12}{x^2 — 4} = 0;$$

$$x^2 — 8x + 12 = 0;$$

$$D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 — 48 = 16, \text{ тогда:}$$

$$x_1 = \frac{8 — 4}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 — 4 \neq 0;$$

$$x^2 \neq 4;$$

$$x \neq \pm 2;$$

Ответ:

$x = 6$

.

1)

Уравнение:

$$\frac{3}{x-1} — \frac{4x-1}{x+1} = \frac{x^2 + 5}{x^2 — 1} — 5;$$

Шаг 1. Преобразуем правую часть уравнения:

Запишем правую часть, заметив, что

$x^2 — 1$

— это разность квадратов, то есть:

$$\frac{x^2 + 5}{x^2 — 1} — 5 = \frac{x^2 + 5}{x^2 — 1} — \frac{5(x^2 — 1)}{x^2 — 1} = \frac{x^2 + 5 — 5(x^2 — 1)}{x^2 — 1}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$x^2 + 5 — 5(x^2 — 1) = x^2 + 5 — 5x^2 + 5 = -4x^2 + 10.$$

Тогда у нас получается:

$$\frac{x^2 + 5}{x^2 — 1} — 5 = \frac{-4x^2 + 10}{x^2 — 1}.$$

Шаг 2. Подставляем преобразованную правую часть в исходное уравнение:

Теперь уравнение будет выглядеть так:

$$\frac{3}{x-1} — \frac{4x-1}{x+1} = \frac{-4x^2 + 10}{x^2 — 1}.$$

Шаг 3. Преобразуем левую часть уравнения:

Запишем левую часть, приведения её к общему знаменателю:

$$\frac{3}{x-1} — \frac{4x-1}{x+1}.$$

Общий знаменатель для этих дробей — это

$(x-1)(x+1) = x^2 — 1$

. Таким образом, преобразуем левую часть:

$$\frac{3}{x-1} — \frac{4x-1}{x+1} = \frac{3(x+1) — (4x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$3(x+1) = 3x + 3,$$

$$(4x — 1)(x — 1) = 4x^2 — 4x — x + 1 = 4x^2 — 5x + 1.$$

Теперь подставим это в числитель:

$$3(x+1)-(4x-1)(x-1)=(3x+3)-(4x^2-5x+1)=3x+3-4x^2+5x-\mathrm{1\; =}$$

$$3(x+1) — (4x-1)(x-1) = (3x + 3) — (4x^2 — 5x + 1) = 3x + 3 — 4x^2 + 5x — 1 = -4x^2 + 8x + 2.$$

Таким образом, левая часть уравнения:

$$\frac{3}{x-1} — \frac{4x-1}{x+1} = \frac{-4x^2 + 8x + 2}{x^2 — 1}.$$

Шаг 4. Приравниваем обе части уравнения:

Теперь у нас есть:

$$\frac{-4x^2 + 8x + 2}{x^2 — 1} = \frac{-4x^2 + 10}{x^2 — 1}.$$

Поскольку знаменатели одинаковые, можем приравнять числители:

$$-4x^2 + 8x + 2 = -4x^2 + 10.$$

Шаг 5. Решаем полученное уравнение:

Упростим уравнение:

$$-4x^2 + 8x + 2 = -4x^2 + 10.$$

Переносим все термины на одну сторону:

$$8x + 2 — 10 = 0,$$

$$8x — 8 = 0,$$

$$8x = 8,$$

$$x = 1.$$

Шаг 6. Проверка на значение

$x = 1$

:

При

$x = 1$

выражения в знаменателях

$x-1$

и

$x+1$

в исходном уравнении становятся равными нулю, что делает дроби неопределёнными. Таким образом, корня

$x = 1$

нет.

Ответ: корней нет.

2)

Уравнение:

$$\frac{x+2}{x-2} \cdot \frac{x(x-4)}{x^2-4} = \frac{x-2}{x+2} — \frac{4(3+x)}{4-x^2}.$$

Шаг 1. Преобразуем правую часть уравнения:

Заметим, что

$x^2 — 4 = (x-2)(x+2)$

и

$4 — x^2 = (2-x)(x+2)$

, то есть:

$$\frac{x-2}{x+2} — \frac{4(3+x)}{4-x^2} = \frac{x-2}{x+2} + \frac{4(3+x)}{(x-2)(x+2)}.$$

Теперь у нас общий знаменатель

$(x-2)(x+2)$

, так что можно привести обе дроби к общему знаменателю:

$$\frac{x-2}{x+2} + \frac{4(3+x)}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x-2)^2 + 4(3+x)}{(x-2)(x+2)}.$$

Шаг 2. Преобразуем левую часть уравнения:

Левая часть уравнения:

$$\frac{x+2}{x-2} \cdot \frac{x(x-4)}{x^2-4} = \frac{(x+2)x(x-4)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x(x+2)(x-4)}{(x-2)(x+2)}.$$

Шаг 3. Приводим обе стороны уравнения к общему знаменателю:

Теперь обе стороны уравнения имеют общий знаменатель

$(x-2)(x+2)$

, и мы можем приравнять числители:

$$x(x+2)(x-4) = (x-2)^2 + 4(3+x).$$

Шаг 4. Раскрываем скобки в числителях:

Для левой части:

$$x(x+2)(x-4) = x(x^2 — 2x — 8) = x^3 — 2x^2 — 8x.$$

Для правой части:

$$(x-2)^2 + 4(3+x) = x^2 — 4x + 4 + 12 + 4x = x^2 + 16.$$

Шаг 5. Приравниваем числители:

Теперь у нас есть:

$$x^3 — 2x^2 — 8x = x^2 + 16.$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^3 — 2x^2 — 8x — x^2 — 16 = 0,$$

$$x^3 — 3x^2 — 8x — 16 = 0.$$

Шаг 6. Решаем полученное кубическое уравнение:

Пробуем корень

$x = 2$

(по методу подбора):

$$2^3 — 3 \cdot 2^2 — 8 \cdot 2 — 16 = 8 — 12 — 16 — 16 = 0.$$

Следовательно,

$x = 2$

— корень уравнения. Разделим на

$x — 2$

с помощью деления многочленов:

$$x^3 — 3x^2 — 8x — 16 = (x-2)(x^2 — x — 8).$$

Теперь решаем квадратное уравнение:

$$x^2 — x — 8 = 0.$$

Находим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 1 + 32 = 33.$$

Корни уравнения:

$$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2}.$$

Шаг 7. Проверка на значения, при которых выражение не имеет смысла:

У нас есть ограничения:

$$x^2 — 4 \neq 0, \quad \text{то есть} \quad x \neq \pm 2.$$

Проверим, что (

x = 2) не подходит, поскольку это значение вызывает деление на ноль в знаменателе.

Ответ:

$x = \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$

и

$x = \frac{1 — \sqrt{33}}{2}$

.