ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1477 Алимов — Подробные Ответы

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

1. у = sin 2х- (корень 3) cos 2х;
2. у = 2 cos 2х + sin2 х.

$y = \sin 2x — \sqrt{3} \cos 2x = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \sin 2x — \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x \right) =$

$= 2 \cdot \left( \cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin 2x — \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos 2x \right) = 2 \sin \left( 2x — \frac{\pi}{3} \right);$

$-1 \leq \sin \left( 2x — \frac{\pi}{3} \right) \leq 1;$

$-2 \leq 2 \sin \left( 2x — \frac{\pi}{3} \right) \leq 2;$

Ответ: $y_{\text{min}} = -2$; $y_{\text{max}} = 2$.

$y = 2 \cos 2x + \sin^2 x = 2 (\cos^2 x — \sin^2 x) + \sin^2 x =$

$= 2 \cos^2 x — 2 \sin^2 x + \sin^2 x = 2 \cos^2 x — \sin^2 x =$

$= 2 \cos^2 x — (1 — \cos^2 x) = 3 \cos^2 x — 1;$

$-1 \leq \cos x \leq 1;$

$0 \leq \cos^2 x \leq 1;$

$0 \leq 3 \cos^2 x \leq 3;$

$-1 \leq 3 \cos^2 x — 1 \leq 2;$

Ответ: $y_{\text{min}} = -1$; $y_{\text{max}} = 2$.

Задача 1

Нужно найти минимальное и максимальное значение функции:

$$y = \sin 2x — \sqrt{3} \cos 2x$$

Шаг 1: Приведение к стандартной форме

Для удобства преобразуем выражение в более компактную и удобную для анализа форму, используя формулы для тригонометрических преобразований.

$$y = \sin 2x — \sqrt{3} \cos 2x$$

Заметим, что выражение можно представить как комбинацию синуса и косинуса с коэффициентами. Мы воспользуемся известной формулой для линейной комбинации синуса и косинуса:

$$R \sin(2x — \varphi) = \sin 2x \cos \varphi — \cos 2x \sin \varphi$$

Для того чтобы привести исходное выражение к такой форме, нужно подобрать такие значения $R$ и $\varphi$, при которых:

$$\sin 2x — \sqrt{3} \cos 2x = R \sin(2x — \varphi)$$

Шаг 2: Найдем коэффициенты $R$ и $\varphi$

Сравниваем коэффициенты при $\sin 2x$ и $\cos 2x$ с двумя сторонами равенства:

$$\sin 2x — \sqrt{3} \cos 2x = R \left( \cos \varphi \sin 2x — \sin \varphi \cos 2x \right)$$

Мы видим, что для выполнения равенства необходимо:

$$R \cos \varphi = 1 \quad \text{и} \quad R \sin \varphi = \sqrt{3}$$

Для нахождения $R$, воспользуемся Пифагоровой теоремой:

$$R = \sqrt{(R \cos \varphi)^2 + (R \sin \varphi)^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$

Теперь найдём угол $\varphi$:

$$\sin \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \varphi = \frac{1}{2}$$

Значит, $\varphi = \frac{\pi}{3}$, так как $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.

Шаг 3: Подставим в исходное выражение

Таким образом, исходное выражение можно переписать как:

$$y = 2 \sin \left( 2x — \frac{\pi}{3} \right)$$

Шаг 4: Найдем минимальное и максимальное значение

Мы знаем, что $\sin \theta$ принимает значения в интервале $[-1, 1]$. Следовательно:

$$-1 \leq \sin \left( 2x — \frac{\pi}{3} \right) \leq 1$$

Теперь умножим все неравенство на 2:

$$-2 \leq 2 \sin \left( 2x — \frac{\pi}{3} \right) \leq 2$$

Следовательно, минимальное значение функции равно $-2$, а максимальное значение равно $2$.

Ответ:

$$y_{\text{min}} = -2, \quad y_{\text{max}} = 2$$

Задача 2

Нужно найти минимальное и максимальное значение функции:

$$y = 2 \cos 2x + \sin^2 x$$

Шаг 1: Преобразуем выражение

Используем тригонометрическое тождество для $\cos 2x$:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Тогда функция $y$ примет вид:

$$y = 2 \cos 2x + \sin^2 x = 2 (\cos^2 x — \sin^2 x) + \sin^2 x$$

Шаг 2: Упростим выражение

Упростим полученное выражение:

$$y = 2 \cos^2 x — 2 \sin^2 x + \sin^2 x = 2 \cos^2 x — \sin^2 x$$

Далее, используя тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, получаем:

$$y = 2 \cos^2 x — (1 — \cos^2 x) = 3 \cos^2 x — 1$$

Теперь функция имеет вид:

$$y = 3 \cos^2 x — 1$$

Шаг 3: Найдем минимальное и максимальное значение функции

Мы знаем, что $\cos x$ принимает значения в интервале $[-1, 1]$. Поэтому:

$$0 \leq \cos^2 x \leq 1$$

Теперь умножим это неравенство на 3:

$$0 \leq 3 \cos^2 x \leq 3$$

Вычитаем 1 из каждой части неравенства:

$$-1 \leq 3 \cos^2 x — 1 \leq 2$$

Следовательно, минимальное значение функции равно $-1$, а максимальное значение равно $2$.

Ответ:

$$y_{\text{min}} = -1, \quad y_{\text{max}} = 2$$