ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1476 Алимов — Подробные Ответы

Найти наибольшее или наименьшее значение функции у = ах2 + bх — 4, если у (1) = 0 и у (4) = 0.

Дана функция: $y = ax^2 + bx — 4$;

Значения параметров $a$ и $b$, если $y(1) = 0$ и $y(4) = 0$:

$$\left\{ \begin{array}{l} 0 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 — 4 \\ 0 = a \cdot 4^2 + b \cdot 4 — 4 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + b — 4 = 0 \\ 16a + 4b — 4 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 4 — a \\ 16a + 4b = 4 \end{array} \right.$$ $$16a + 4(4 — a) = 4;$$ $$16a + 16 — 4a = 4;$$ $$12a = -12, \text{ отсюда } a = -1;$$ $$b = 4 — (-1) = 4 + 1 = 5;$$

Наибольшее (так как $a < 0$) значение функции:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{-5}{2 \cdot (-1)} = \frac{5}{2};$$ $$y(x_0) = -1 \cdot \left( \frac{5}{2} \right)^2 + 5 \cdot \frac{5}{2} — 4 = -\frac{25}{4} + \frac{50}{4} — \frac{16}{4} = \frac{9}{4} = 2,25;$$

Ответ: $y_{\text{max}} = 2,25$.

Функция имеет вид $y = ax^2 + bx — 4$, где $a$ и $b$ — неизвестные параметры. Также известно, что $y(1) = 0$ и $y(4) = 0$. Необходимо найти значения параметров $a$ и $b$, а также наибольшее значение функции.

Шаг 1: Подставим значения $x = 1$ и $x = 4$ в функцию

Подставим $x = 1$ в уравнение функции $y = ax^2 + bx — 4$:

$$y(1) = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 — 4 = 0$$

Это уравнение становится:

$$a \cdot 1 + b — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad a + b — 4 = 0$$

Подставим $x = 4$ в уравнение функции $y = ax^2 + bx — 4$:

$$y(4) = a \cdot 4^2 + b \cdot 4 — 4 = 0$$

Это уравнение становится:

$$a \cdot 16 + b \cdot 4 — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad 16a + 4b — 4 = 0$$

Шаг 2: Решим систему линейных уравнений

Теперь у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:

$$\left\{ \begin{array}{l} a + b — 4 = 0 \\ 16a + 4b — 4 = 0 \end{array} \right.$$

Первое уравнение:

$$a + b — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad a + b = 4 \quad \text{(Уравнение 1)}$$

Второе уравнение:

$$16a + 4b — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad 16a + 4b = 4 \quad \text{(Уравнение 2)}$$

Шаг 3: Подставим выражение для $b$ из первого уравнения во второе

Из первого уравнения $a + b = 4$ выражаем $b$:

$$b = 4 — a$$

Теперь подставим это значение $b = 4 — a$ во второе уравнение:

$$16a + 4(4 — a) = 4$$

Раскроем скобки:

$$16a + 16 — 4a = 4$$

Упростим:

$$(16a — 4a) + 16 = 4$$ $$12a + 16 = 4$$

Теперь перенесем 16 на правую сторону:

$$12a = 4 — 16$$ $$12a = -12$$

Решим для $a$:

$$a = \frac{-12}{12} = -1$$

Шаг 4: Найдем $b$

Теперь, когда мы нашли $a = -1$, подставим это значение в выражение для $b$:

$$b = 4 — (-1) = 4 + 1 = 5$$

Таким образом, мы нашли значения параметров:

$$a = -1, \quad b = 5$$

Шаг 5: Найдем наибольшее значение функции

Теперь, когда мы знаем $a = -1$ и $b = 5$, можем найти наибольшее значение функции. Поскольку $a < 0$, парабола будет открываться вниз, и наибольшее значение функции будет в вершине параболы.

Формула для нахождения абсциссы вершины параболы:

$$x_0 = -\frac{b}{2a}$$

Подставим значения $b = 5$ и $a = -1$:

$$x_0 = -\frac{5}{2 \cdot (-1)} = \frac{5}{2}$$

Теперь, чтобы найти значение функции в этой точке, подставим $x_0 = \frac{5}{2}$ в исходное уравнение $y = ax^2 + bx — 4$:

$$y(x_0) = -1 \cdot \left( \frac{5}{2} \right)^2 + 5 \cdot \frac{5}{2} — 4$$

Посчитаем:

$$y(x_0) = -1 \cdot \frac{25}{4} + \frac{25}{2} — 4$$

Приведем к общему знаменателю:

$$y(x_0) = -\frac{25}{4} + \frac{50}{4} — \frac{16}{4}$$

Теперь сложим дроби:

$$y(x_0) = \frac{-25 + 50 — 16}{4} = \frac{9}{4} = 2,25$$

Ответ:

Наибольшее значение функции равно:

$$y_{\text{max}} = 2,25$$