ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1472 Алимов — Подробные Ответы

1. у = х sin х;
2. у = х2 cos 2х;
3. у = х + sin х;
4. у = х + cos х.

1. $y = x \cdot \sin x$;
   $y(-x) = -x \cdot \sin(-x) = -x \cdot (-\sin x) = x \cdot \sin x = y(x)$;
   Ответ: четная.
2. $y = x^2 \cdot \cos 2x$;
   $y(-x) = (-x)^2 \cdot \cos(2 \cdot (-x)) = x^2 \cdot \cos(-2x) = x^2 \cdot \cos 2x = y(x)$;
   Ответ: четная.
3. $y = x + \sin x$;
   $y(-x) = -x + \sin(-x) = -x — \sin x = -y(x)$;
   Ответ: нечетная.
4. $y = x + \cos x$;
   $y(-x) = -x + \cos(-x) = -x + \cos x$;
   Ответ: ни четная, ни нечетная.

1) $y = x \cdot \sin x$

Нам нужно определить, является ли функция $y = x \cdot \sin x$ четной, нечетной или ни той, ни другой.

Шаг 1: Подставляем $-x$ вместо $x$

Чтобы проверить, является ли функция четной или нечетной, подставим $-x$ в функцию вместо $x$:

$$y(-x) = (-x) \cdot \sin(-x)$$

Шаг 2: Используем свойство синуса

Синус — это нечетная функция, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$. Подставляем это свойство в выражение:

$$y(-x) = (-x) \cdot (-\sin x)$$

Шаг 3: Упрощаем выражение

Теперь упрощаем:

$$y(-x) = x \cdot \sin x$$

Шаг 4: Сравниваем $y(-x)$ с $y(x)$

Исходная функция была $y(x) = x \cdot \sin x$. Видим, что:

$$y(-x) = y(x)$$

Таким образом, функция является четной, потому что $y(-x) = y(x)$.

Ответ: Четная функция.

2) $y = x^2 \cdot \cos 2x$

Теперь рассматриваем вторую функцию.

Шаг 1: Подставляем $-x$ вместо $x$

Подставляем $-x$ в выражение для функции:

$$y(-x) = (-x)^2 \cdot \cos(2 \cdot (-x))$$

Шаг 2: Упрощаем выражение

Квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного числа, т.е. $(-x)^2 = x^2$. Поэтому:

$$y(-x) = x^2 \cdot \cos(-2x)$$

Шаг 3: Используем свойство косинуса

Косинус — это четная функция, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$. Подставляем это свойство:

$$y(-x) = x^2 \cdot \cos(2x)$$

Шаг 4: Сравниваем $y(-x)$ с $y(x)$

Исходная функция была $y(x) = x^2 \cdot \cos 2x$. Видим, что:

$$y(-x) = y(x)$$

Таким образом, функция является четной, так как $y(-x) = y(x)$.

Ответ: Четная функция.

3) $y = x + \sin x$

Теперь рассмотрим третью функцию.

Шаг 1: Подставляем $-x$ вместо $x$

Подставляем $-x$ в выражение для функции:

$$y(-x) = -x + \sin(-x)$$

Шаг 2: Используем свойство синуса

Синус — это нечетная функция, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$. Подставляем это свойство:

$$y(-x) = -x — \sin x$$

Шаг 3: Сравниваем $y(-x)$ с $y(x)$

Исходная функция была $y(x) = x + \sin x$. Видим, что:

$$y(-x) = -x — \sin x = -\left(x + \sin x\right) = -y(x)$$

Таким образом, функция является нечетной, так как $y(-x) = -y(x)$.

Ответ: Нечетная функция.

4) $y = x + \cos x$

Рассмотрим последнюю функцию.

Шаг 1: Подставляем $-x$ вместо $x$

Подставляем $-x$ в выражение для функции:

$$y(-x) = -x + \cos(-x)$$

Шаг 2: Используем свойство косинуса

Косинус — это четная функция, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$. Подставляем это свойство:

$$y(-x) = -x + \cos x$$

Шаг 3: Сравниваем $y(-x)$ с $y(x)$

Исходная функция была $y(x) = x + \cos x$. Видим, что:

$$y(-x) = -x + \cos x$$

Это выражение не совпадает ни с $y(x) = x + \cos x$ (функция четная), ни с $y(x) = -(x + \cos x)$ (функция нечетная). Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Ни четная, ни нечетная.

Итоги:

1. Четная функция.
2. Четная функция.
3. Нечетная функция.
4. Ни четная, ни нечетная функция.