ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1452 Алимов — Подробные Ответы

В треугольнике, площадь которого равна 12 см2, середины сторон соединены отрезками. Во вновь полученном треугольнике точно так же образован новый треугольник и т. д. Найти сумму площадей всех получающихся таким построением треугольников.

Стороны каждого треугольника, начиная со второго, в два раза меньше соответственных сторон предыдущего треугольника (как средние линии), значит эти треугольники подобны, с коэффициентом подобия $k = 0.5$, следовательно площадь каждого следующего треугольника равна квадрату коэффициента подобия площади предыдущего;

Имеем геометрическую прогрессию $b(n)$, в которой:
$b_1 = 12 \quad \text{и} \quad q = k^2 = 0.25;$

Сумма площадей всех таких треугольников:
$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{12}{1 — 0.25} = \frac{12}{0.75} = 16 \, (\text{см}^2);$

Ответ: $16 \, \text{см}^2$.

Условие задачи

• Имеется треугольник, площадь которого равна 12 см².
• В нём соединяют середины сторон, в результате чего образуется второй треугольник (внутри первого).
• С этим новым треугольником повторяют ту же операцию: соединяют его середины и получают следующий треугольник.
• Процесс повторяется бесконечно.

Найти: сумму площадей всех треугольников, образованных таким построением.

Шаг 1. Геометрическое наблюдение: срединный треугольник

Если в любом треугольнике соединить середины сторон, то образуется срединный треугольник.

Свойства срединного треугольника:

1. Он подобен исходному треугольнику.
2. Его коэффициент подобия — $k = \frac{1}{2}$ (так как каждая сторона в 2 раза короче).
3. Площадь нового треугольника равна квадрату коэффициента подобия, то есть:

   $$S_{\text{новый}} = k^2 \cdot S_{\text{предыдущий}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot S = \frac{1}{4} \cdot S.$$

Шаг 2. Обозначим площадь каждого треугольника

Пусть $S_1$ — площадь первого треугольника, $S_2$ — второго, и т.д.

Тогда:

• $S_1 = 12$
• $S_2 = \frac{1}{4} \cdot S_1 = 12 \cdot \frac{1}{4} = 3$
• $S_3 = \frac{1}{4} \cdot S_2 = 3 \cdot \frac{1}{4} = 0.75$
• и т. д.

Шаг 3. Формируем геометрическую прогрессию

Мы видим, что площади образуют геометрическую прогрессию с параметрами:

$$\begin{aligned} b_1 &= 12,\\ q &= \frac{1}{4} = 0.25. \end{aligned}$$

Шаг 4. Вспомним формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии

Для геометрической прогрессии с модулем знаменателя $|q| < 1$:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Шаг 5. Подставим значения

$$S = \frac{12}{1 — 0.25} = \frac{12}{0.75} = \frac{12 \cdot 4}{3} = \frac{48}{3} = 16.$$

Ответ:

$$\boxed{16\ \text{см}^2}$$