ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1449 Алимов — Подробные Ответы

Найти четыре числа, зная, что первые три из них являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, а последние три — арифметической прогрессии. Сумма первого и четвёртого чисел равна 16, а второго и третьего равна 12.

Пусть $x$ — первое число, $q$ — знаменатель геометрической прогрессии и $d$ — разность арифметической прогрессии, тогда:

• $xq$ — второе число;
• $xq^2$ — третье число;
• $d = xq^2 — xq = xq \cdot (q — 1)$;
• $(xq^2 + d) = xq^2 + xq(q — 1)$ — четвёртое число;

Сумма первого и четвёртого чисел равна 16, значит:

$$x + xq^2 + xq(q — 1) = 16;$$ $$x(1 + q^2 + q(q — 1)) = 16;$$ $$x(1 + q^2 + q^2 — q) = 16;$$ $$x = \frac{16}{2q^2 — q + 1};$$

Сумма второго и третьего чисел равна 12, значит:

$$xq + xq^2 = 12;$$ $$\frac{16q}{2q^2 — q + 1} + \frac{16q^2}{2q^2 — q + 1} = 12 \quad | \cdot (2q^2 — q + 1);$$ $$16q + 16q^2 = 12(2q^2 — q + 1);$$ $$16q + 16q^2 = 24q^2 — 12q + 12;$$ $$8q^2 — 28q + 12 = 0 \quad | : 4;$$ $$2q^2 — 7q + 3 = 0;$$ $$D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 — 24 = 25, \text{ тогда:}$$ $$q_1 = \frac{7 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad q_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = 3;$$

Первая последовательность:

$$x_1 = \frac{16}{2 \cdot \frac{1}{4} — \frac{1}{2} + 1} = \frac{16}{\frac{1}{2} — \frac{1}{2} + 1} = 16;$$ $$xq = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8;$$ $$xq^2 = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4;$$ $$xq^2 + xq(q — 1) = 4 + 8 \left( \frac{1}{2} — 1 \right) = 4 — 4 = 0;$$

Вторая последовательность:

$$x_2 = \frac{16}{2 \cdot 9 — 3 + 1} = \frac{16}{18 — 3 + 1} = 1;$$ $$xq = 1 \cdot 3 = 3;$$ $$xq^2 = 1 \cdot 9 = 9;$$ $$xq^2 + xq(q — 1) = 9 + 3(3 — 1) = 9 + 6 = 15;$$

Ответ: $16, 8, 4, 0$ или $1, 3, 9, 15$.

Условие:

Найти четыре числа, такие что:

• Первые три числа образуют геометрическую прогрессию;
• Последние три числа образуют арифметическую прогрессию;
• Сумма первого и четвёртого чисел: $a_1 + a_4 = 16$;
• Сумма второго и третьего чисел: $a_2 + a_3 = 12$.

Найти все такие наборы четырёх чисел.

Шаг 1. Обозначим переменные

Пусть:

• $x$ — первое число,
• $q$ — знаменатель геометрической прогрессии.

Тогда:

• $a_1 = x$
• $a_2 = xq$
• $a_3 = xq^2$

Арифметическая прогрессия начинается с $a_2 = xq$, $a_3 = xq^2$, $a_4$ — следующий член.

Разность арифметической прогрессии:

$$d = a_3 — a_2 = xq^2 — xq = xq(q — 1)$$

Следовательно, четвёртое число:

$$a_4 = a_3 + d = xq^2 + xq(q — 1)$$

Шаг 2. Используем условие: сумма 1-го и 4-го членов равна 16

$$x + a_4 = 16 \Rightarrow x + xq^2 + xq(q — 1) = 16$$

Раскроем скобки:

$$x + xq^2 + xq^2 — xq = 16 \Rightarrow x(1 + q^2 + q^2 — q) = 16 \Rightarrow x(1 + 2q^2 — q) = 16 \tag{1}$$

Шаг 3. Используем второе условие: сумма второго и третьего равна 12

$$a_2 + a_3 = 12 \Rightarrow xq + xq^2 = 12 \Rightarrow xq(1 + q) = 12 \tag{2}$$

Шаг 4. Выразим $x$ из (1)

$$x = \frac{16}{2q^2 — q + 1} \tag{3}$$

Шаг 5. Подставим $x$ из (3) в уравнение (2)

$$\frac{16}{2q^2 — q + 1} \cdot q(1 + q) = 12$$

Упростим:

$$\frac{16q(q + 1)}{2q^2 — q + 1} = 12$$

Домножим обе части на знаменатель:

$$16q(q + 1) = 12(2q^2 — q + 1)$$

Раскроем скобки:

Левая часть:

$$16q^2 + 16q$$

Правая часть:

$$24q^2 — 12q + 12$$

Равенство:

$$16q^2 + 16q = 24q^2 — 12q + 12$$

Перенесём всё в левую часть:

$$16q^2 + 16q — 24q^2 + 12q — 12 = 0 \Rightarrow -8q^2 + 28q — 12 = 0$$

Упростим (разделим на -4):

$$2q^2 — 7q + 3 = 0 \tag{4}$$

Шаг 6. Решим квадратное уравнение (4)

$$2q^2 — 7q + 3 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 — 24 = 25 \Rightarrow \sqrt{D} = 5$$

Находим корни:

$$q_{1,2} = \frac{7 \pm 5}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4}$$ $$q_1 = \frac{12}{4} = 3, \quad q_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Шаг 7. Подставим значения $q$, найдём $x$ и все 4 числа

Случай 1: $q = \frac{1}{2}$

Подставим в (3):

$$x = \frac{16}{2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 — \frac{1}{2} + 1} = \frac{16}{2 \cdot \frac{1}{4} — \frac{1}{2} + 1} = \frac{16}{\frac{1}{2} — \frac{1}{2} + 1} = \frac{16}{1} = 16$$

Тогда:

• $a_1 = x = 16$
• $a_2 = xq = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$
• $a_3 = xq^2 = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4$
• Разность арифм. прогрессии: $d = xq(q — 1) = 8 \cdot \left(\frac{1}{2} — 1\right) = 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = -4$
• $a_4 = a_3 + d = 4 + (-4) = 0$

Числа: $16,\ 8,\ 4,\ 0$

Случай 2: $q = 3$

Подставим в (3):

$$x = \frac{16}{2 \cdot 9 — 3 + 1} = \frac{16}{18 — 3 + 1} = \frac{16}{16} = 1$$

Тогда:

• $a_1 = x = 1$
• $a_2 = xq = 1 \cdot 3 = 3$
• $a_3 = xq^2 = 1 \cdot 9 = 9$
• Разность: $d = xq(q — 1) = 3 \cdot 2 = 6$
• $a_4 = 9 + 6 = 15$

Числа: $1,\ 3,\ 9,\ 15$

Ответ:

$$\boxed{16,\ 8,\ 4,\ 0 \quad \text{или} \quad 1,\ 3,\ 9,\ 15}$$