ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 144 Алимов — Подробные Ответы

Выяснить, равносильны ли уравнение (144-145)

1. |2x-1| = 3 и 2x-1=3;
2. (3x-2)/3 — (4-x)/2 — (3x-5)/6 =2x-2 и 2x+3=10/3.

1) $|2x — 1| = 3$ и $2x — 1 = 3$

Решим первое уравнение:

$$|2x — 1| = 3;$$

$$\begin{cases} 2x — 1 = 3 & \Rightarrow \quad 2x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2, \\ 2x — 1 = -3 & \Rightarrow \quad 2x = -2 \quad \Rightarrow \quad x = -1. \end{cases}$$

Решим второе уравнение:

$$2x — 1 = 3;$$

$$2x = 4;$$

$$x = 2.$$

Ответ: не равносильны.

2) $\frac{3x-2}{3} — \frac{4-x}{2} — \frac{3x-5}{6} = 2x — 2$ и $2x + 3 = \frac{10}{3}$

Решим первое уравнение:

$$\frac{3x-2}{3} — \frac{4-x}{2} — \frac{3x-5}{6} = 2x — 2 \quad \big| \cdot 6;$$

$$6 \left( \frac{3x-2}{3} \right) — 6 \left( \frac{4-x}{2} \right) — 6 \left( \frac{3x-5}{6} \right) = 6(2x — 2);$$

$$2(3x-2) — 3(4-x) — (3x-5) = 12x — 12;$$

$$6x — 4 — 12 + 3x — 3x + 5 = 12x — 12;$$

$$6x — 11 = 12x — 12;$$

$$6x — 12x = -12 + 11;$$

$$-6x = -1;$$

$$x = \frac{1}{6}.$$

Решим второе уравнение:

$$2x + 3 = \frac{10}{3} \quad \big| \cdot 3;$$

$$3(2x + 3) = 10;$$

$$6x + 9 = 10;$$

$$6x = 1;$$

$$x = \frac{1}{6}.$$

Ответ: равносильны.

1) $|2x — 1| = 3$ и $2x — 1 = 3$

Разберёмся с первым уравнением:

$$|2x — 1| = 3.$$

По определению модуля:

$$|A| = B \quad \Rightarrow \quad A = B \quad \text{или} \quad A = -B.$$

Применяя это к нашему уравнению, получаем два случая:

• $2x — 1 = 3$
• $2x — 1 = -3$

Решаем каждое уравнение отдельно:

$$2x — 1 = 3;$$

$$2x = 3 + 1;$$

$$2x = 4;$$

$$x = \frac{4}{2} = 2.$$

$$2x — 1 = -3;$$

$$2x = -3 + 1;$$

$$2x = -2;$$

$$x = \frac{-2}{2} = -1.$$

Таким образом, для уравнения $|2x — 1| = 3$ нашли два корня:

$$x = 2, \quad x = -1.$$

Теперь рассмотрим второе уравнение:

$$2x — 1 = 3.$$

Решаем его:

$$2x = 3 + 1;$$

$$2x = 4;$$

$$x = \frac{4}{2} = 2.$$

Видим, что у первого уравнения два решения: $x = 2$ и $x = -1$, а у второго уравнения — только одно: $x = 2$.

Вывод: Уравнения не равносильны, так как имеют разные множества решений.

Ответ: не равносильны.

2) $\frac{3x-2}{3} — \frac{4-x}{2} — \frac{3x-5}{6} = 2x — 2$ и $2x + 3 = \frac{10}{3}$

Решаем первое уравнение:

$$\frac{3x-2}{3} — \frac{4-x}{2} — \frac{3x-5}{6} = 2x — 2.$$

Находим общий знаменатель для всех дробей. Он равен 6. Умножаем обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от дробей:

$$6 \cdot \frac{3x-2}{3} — 6 \cdot \frac{4-x}{2} — 6 \cdot \frac{3x-5}{6} = 6(2x — 2).$$

Вычисляем каждое слагаемое:

$$2(3x — 2) — 3(4 — x) — (3x — 5) = 12x — 12.$$

Раскрываем скобки:

$$6x — 4 — 12 + 3x — 3x + 5 = 12x — 12.$$

Приводим подобные слагаемые:

$$6x — 11 = 12x — 12.$$

Переносим все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а свободные числа — в правую:

$$6x — 12x = -12 + 11.$$

$$-6x = -1.$$

Делим обе части на $-6$:

$$x = \frac{1}{6}.$$

Решаем второе уравнение:

$$2x + 3 = \frac{10}{3}.$$

Умножаем обе части на 3, чтобы избавиться от дроби:

$$3(2x + 3) = 10.$$

Раскрываем скобки:

$$6x + 9 = 10.$$

Переносим свободные числа в правую часть:

$$6x = 10 — 9.$$

$$6x = 1.$$

Делим обе части на 6:

$$x = \frac{1}{6}.$$

Сравниваем решения:

• В первом уравнении получили x$x = \frac{1}{6}$
• Во втором уравнении также получили x$x = \frac{1}{6}$

Так как уравнения имеют одинаковое множество решений, они равносильны.

Ответ: равносильны.