ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1431 Алимов — Подробные Ответы

1) система

sinxcosy=-1/2,

tgxctgy=1;

2) система

sinxsiny=1/4,

3tgx=ctgy.

1)

$$\begin{cases} \sin x \cdot \cos y = -\frac{1}{2} \\ \tg x \cdot \ctg y = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \sin x \cdot \cos y = -\frac{1}{2} \\ \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos y}{\sin y} = 1 \end{cases}$$ $$\frac{-\frac{1}{2}}{\cos x \cdot \sin y} = 1;$$ $$\cos x \cdot \sin y = -\frac{1}{2};$$ $$\sin x \cdot \cos y — \cos x \cdot \sin y = -\frac{1}{2} — \left(-\frac{1}{2}\right);$$ $$\sin(x — y) = 0;$$ $$x — y = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \pi n + y;$$ $$\sin(\pi n + y) \cdot \cos y = -\frac{1}{2};$$ $$\pm \sin y \cdot \cos y = -\frac{1}{2};$$ $$\pm \frac{1}{2} \sin 2y = -\frac{1}{2};$$ $$\pm \sin 2y = -1;$$ $$\sin 2y = \pm 1;$$ $$2y = \pm \arcsin 1 + 2\pi m = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi m;$$ $$y = \frac{1}{2} \left( \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi m \right) = \pm \frac{\pi}{4} + \pi m;$$ $$x_1 = \pi n + \left( -\frac{\pi}{4} + \pi m \right) = -\frac{\pi}{4} + \pi(n + m);$$ $$x_2 = \pi n + \left( \frac{\pi}{4} + \pi m \right) = \frac{\pi}{4} + \pi(n + m);$$

Ответ:

$$\left( -\frac{\pi}{4} + \pi(n + m); -\frac{\pi}{4} + \pi m \right); \left( \frac{\pi}{4} + \pi(n + m); \frac{\pi}{4} + \pi m \right).$$

2)

$$\begin{cases} \sin x \cdot \sin y = \frac{1}{4} \\ 3 \tg x = \ctg y \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \sin x \cdot \sin y = \frac{1}{4} \\ \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{1}{3} \end{cases}$$

Первое уравнение:

$$\frac{\frac{1}{4}}{\cos x \cdot \cos y} = \frac{1}{3};$$ $$\cos x \cdot \cos y = \frac{3}{4};$$ $$\cos x \cdot \cos y — \sin x \cdot \sin y = \frac{3}{4} — \frac{1}{4};$$ $$\cos(x + y) = \frac{1}{2};$$ $$x + y = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{\pi}{3} — y + 2\pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin x \cdot \sin y = \frac{1}{4};$$ $$\frac{1}{2} \left( \cos(x — y) — \cos(x + y) \right) = \frac{1}{4};$$ $$\cos(x — y) — \frac{1}{2} = \frac{1}{2};$$ $$\cos(x — y) = 1;$$ $$x — y = \arccos 1 + 2\pi m = 2\pi m;$$ $$x = 2\pi m + y;$$

Получим уравнение:

$$\pm \frac{\pi}{3} — y + 2\pi n = 2\pi m + y;$$ $$-2y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi m — 2\pi n;$$ $$y = \pm \frac{\pi}{6} + \pi(n — m);$$ $$x_1 = 2\pi m + \left( -\frac{\pi}{6} + \pi n — \pi m \right) = -\frac{\pi}{6} + \pi(n + m);$$ $$x_2 = 2\pi m + \left( \frac{\pi}{6} + \pi n — \pi m \right) = \frac{\pi}{6} + \pi(n + m);$$

Ответ:

$$\left( \frac{\pi}{6} + \pi(n + m); \frac{\pi}{6} + \pi(n — m) \right); \left( -\frac{\pi}{6} + \pi(n + m); -\frac{\pi}{6} + \pi(n — m) \right).$$

Часть 1.

Условие задачи:

Нужно решить систему уравнений:

$$\begin{cases} \sin x \cdot \cos y = -\frac{1}{2} \\ \tg x \cdot \ctg y = 1 \end{cases}$$

Шаг 1: Преобразуем второе уравнение.

Второе уравнение:

$$\tg x \cdot \ctg y = 1$$

Вспомним, что $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $\ctg y = \frac{\cos y}{\sin y}$. Подставляем это в уравнение:

$$\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos y}{\sin y} = 1$$

Упростим:

$$\frac{\sin x \cdot \cos y}{\cos x \cdot \sin y} = 1$$

Отсюда получаем:

$$\sin x \cdot \cos y = \cos x \cdot \sin y$$

Теперь у нас есть два уравнения:

$$\begin{cases} \sin x \cdot \cos y = -\frac{1}{2} \\ \sin x \cdot \cos y = \cos x \cdot \sin y \end{cases}$$

Шаг 2: Избавляемся от $\sin x \cdot \cos y$.

Из второго уравнения мы видим, что $\sin x \cdot \cos y = \cos x \cdot \sin y$. Подставим это в первое уравнение:

$$\cos x \cdot \sin y = -\frac{1}{2}$$

Теперь у нас есть система:

$$\begin{cases} \sin x \cdot \cos y = -\frac{1}{2} \\ \cos x \cdot \sin y = -\frac{1}{2} \end{cases}$$

Шаг 3: Составим разность.

Теперь вычитаем второе уравнение из первого:

$$\sin x \cdot \cos y — \cos x \cdot \sin y = -\frac{1}{2} — \left(-\frac{1}{2}\right)$$

Получаем:

$$\sin(x — y) = 0$$

Шаг 4: Решаем уравнение $\sin(x — y) = 0$.

Мы знаем, что $\sin \theta = 0$ при $\theta = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Значит:

$$x — y = \pi n$$

Отсюда:

$$x = \pi n + y$$

Шаг 5: Подставляем это в исходное уравнение.

Теперь подставим $x = \pi n + y$ в одно из уравнений, например, в $\sin x \cdot \cos y = -\frac{1}{2}$:

$$\sin(\pi n + y) \cdot \cos y = -\frac{1}{2}$$

Используем формулу для синуса:

$$\sin(\pi n + y) = (-1)^n \cdot \sin y$$

Тогда у нас получается:

$$(-1)^n \cdot \sin y \cdot \cos y = -\frac{1}{2}$$

Это означает, что:

$$\pm \sin y \cdot \cos y = -\frac{1}{2}$$

Используя удвоенную формулу для синуса ($\sin 2y = 2 \sin y \cos y$), получаем:

$$\pm \frac{1}{2} \sin 2y = -\frac{1}{2}$$

Отсюда:

$$\sin 2y = \pm 1$$

Шаг 6: Решаем уравнение $\sin 2y = \pm 1$.

Значения $\sin 2y = 1$ или $\sin 2y = -1$ дают следующее:

$$2y = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi m$$

где $m \in \mathbb{Z}$. Следовательно:

$$y = \pm \frac{\pi}{4} + \pi m$$

Шаг 7: Находим $x$.

Теперь, зная $y = \pm \frac{\pi}{4} + \pi m$, подставляем это в выражение для $x = \pi n + y$:

Для $y = -\frac{\pi}{4} + \pi m$:

$$x_1 = \pi n + \left(-\frac{\pi}{4} + \pi m\right) = -\frac{\pi}{4} + \pi(n + m)$$

Для $y = \frac{\pi}{4} + \pi m$:

$$x_2 = \pi n + \left(\frac{\pi}{4} + \pi m\right) = \frac{\pi}{4} + \pi(n + m)$$

Ответ:

$$\left( -\frac{\pi}{4} + \pi(n + m); -\frac{\pi}{4} + \pi m \right); \left( \frac{\pi}{4} + \pi(n + m); \frac{\pi}{4} + \pi m \right)$$

Часть 2.

Условие задачи:

Нужно решить систему уравнений:

$$\begin{cases} \sin x \cdot \sin y = \frac{1}{4} \\ 3 \tg x = \ctg y \end{cases}$$

Шаг 1: Преобразуем второе уравнение.

Второе уравнение:

$$3 \tg x = \ctg y$$

Вспоминаем, что $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $\ctg y = \frac{\cos y}{\sin y}$. Подставляем это в уравнение:

$$3 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos y}{\sin y}$$

Умножим обе части на $\cos x \cdot \sin y$:

$$3 \sin x \cdot \sin y = \cos x \cdot \cos y$$

Таким образом, второе уравнение преобразуется в:

$$\cos x \cdot \cos y = 3 \sin x \cdot \sin y$$

Шаг 2: Подставляем в первое уравнение.

Первое уравнение:

$$\sin x \cdot \sin y = \frac{1}{4}$$

Теперь, выразим $\cos x \cdot \cos y$ через $\sin x \cdot \sin y$ из второго уравнения. Мы знаем, что:

$$\cos x \cdot \cos y = 3 \sin x \cdot \sin y$$

Тогда:

$$\frac{\frac{1}{4}}{\cos x \cdot \cos y} = \frac{1}{3}$$

Преобразуем:

$$\cos x \cdot \cos y = \frac{3}{4}$$

Шаг 3: Составляем разность.

Теперь, вычитаем одно уравнение из другого:

$$\cos(x + y) = \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Решаем уравнение $\cos(x + y) = \frac{1}{2}$.

Это уравнение дает:

$$x + y = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Отсюда:

$$x = \pm \frac{\pi}{3} — y + 2\pi n$$

Шаг 5: Решаем второе уравнение.

Используем следующее представление для $\sin x \cdot \sin y = \frac{1}{4}$:

$$\frac{1}{2} \left( \cos(x — y) — \cos(x + y) \right) = \frac{1}{4}$$

Подставляем $\cos(x + y) = \frac{1}{2}$:

$$\cos(x — y) — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

Получаем:

$$\cos(x — y) = 1$$

Шаг 6: Решаем уравнение $\cos(x — y) = 1$.

$$x — y = 2\pi m$$

Отсюда:

$$x = 2\pi m + y$$

Шаг 7: Получаем систему.

Подставляем $x = \pm \frac{\pi}{3} — y + 2\pi n$ в $x = 2\pi m + y$:

$$\pm \frac{\pi}{3} — y + 2\pi n = 2\pi m + y$$

Решаем относительно $y$:

$$-2y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi m — 2\pi n$$

Получаем:

$$y = \pm \frac{\pi}{6} + \pi(n — m)$$

Шаг 8: Находим $x$.

Теперь, зная $y = \pm \frac{\pi}{6} + \pi(n — m)$, подставляем в выражение для $x$:

Для $y = -\frac{\pi}{6} + \pi(n — m)$:

$$x_1 = 2\pi m + \left( -\frac{\pi}{6} + \pi n — \pi m \right) = -\frac{\pi}{6} + \pi(n + m)$$

Для $y = \frac{\pi}{6} + \pi(n — m)$:

$$x_2 = 2\pi m + \left( \frac{\pi}{6} + \pi n — \pi m \right) = \frac{\pi}{6} + \pi(n + m)$$

Ответ:

$$\left( \frac{\pi}{6} + \pi(n + m); \frac{\pi}{6} + \pi(n — m) \right); \left( -\frac{\pi}{6} + \pi(n + m); -\frac{\pi}{6} + \pi(n — m) \right)$$