ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1427 Алимов — Подробные Ответы

1) система

log4(x)-log2(y)=0,

x2-5y2+4=0;

2) система

x2+y4=16,

log2(x) + 2log2(y) =3.

1)

$$\begin{cases} \log_{4} x — \log_{2} y = 0 \\ x^{2} — 5y^{2} + 4 = 0 \end{cases};$$

Первое уравнение:

$$\log_{4} x — \log_{2} y = 0;$$ $$\log_{2} x^{\frac{1}{2}} — \log_{2} y = 0;$$ $$\log_{2} \frac{\sqrt{x}}{y} = \log_{2} 2^{0};$$ $$\frac{\sqrt{x}}{y} = 1, \text{отсюда } y = \sqrt{x};$$

Второе уравнение:

$$x^{2} — 5(\sqrt{x})^{2} + 4 = 0;$$ $$x^{2} — 5x + 4 = 0;$$ $$D = 5^{2} — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9, \text{тогда:}$$ $$x_{1} = \frac{5 — 3}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4;$$ $$y_{1} = \sqrt{1} = \pm 1 \quad \text{и} \quad y_{2} = \sqrt{4} = \pm 2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0 \quad \text{и} \quad y > 0;$$

Ответ: $(1; 1); (4; 2)$.

2)

$$\begin{cases} x^{2} + y^{4} = 16 \\ \log_{2} x + 2 \log_{2} y = 3 \end{cases};$$

Второе уравнение:

$$\log_{2} x + \log_{2} y^{2} = 3;$$ $$\log_{2} xy^{2} = \log_{2} 2^{3};$$ $$xy^{2} = 8, \text{отсюда } x = \frac{8}{y^{2}};$$

Первое уравнение:

$$\left( \frac{8}{y^{2}} \right)^{2} + y^{4} = 16;$$ $$\frac{64}{y^{4}} + y^{4} = 16 \quad | \cdot y^{4};$$ $$64 + y^{8} = 16y^{4};$$ $$y^{8} — 16y^{4} + 64 = 0;$$ $$(y^{4} — 8)^{2} = 0;$$ $$y^{4} — 8 = 0;$$ $$y^{4} = 8, \text{отсюда } y = \pm \sqrt[4]{8};$$ $$x = \frac{8}{(\pm \sqrt[4]{8})^{2}} = \frac{8}{\sqrt{8}} = \sqrt{8};$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0 \quad \text{и} \quad y > 0;$$

Ответ: $(\sqrt{8}; \sqrt[4]{8})$.

1) Система уравнений:

$$\begin{cases} \log_{4} x — \log_{2} y = 0 \\ x^{2} — 5y^{2} + 4 = 0 \end{cases}$$

Шаг 1. Начнем с первого уравнения. Мы имеем:

$$\log_{4} x — \log_{2} y = 0$$

Преобразуем $\log_{4} x$ через логарифм с основанием 2. Используя правило $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$, получаем:

$$\log_{4} x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$$

Таким образом, первое уравнение можно переписать как:

$$\frac{\log_2 x}{2} — \log_2 y = 0$$

Умножим обе стороны на 2:

$$\log_2 x — 2 \log_2 y = 0$$

Используем свойство логарифмов $2 \log_2 y = \log_2 y^2$, и получаем:

$$\log_2 x — \log_2 y^2 = 0$$

Теперь применим свойство логарифмов $\log_2 a — \log_2 b = \log_2 \frac{a}{b}$:

$$\log_2 \frac{x}{y^2} = 0$$

Поскольку $\log_2 1 = 0$, мы можем записать:

$$\frac{x}{y^2} = 1$$

Отсюда:

$$x = y^2 \tag{1}$$

Шаг 2. Подставим $x = y^2$ в второе уравнение системы:

$$x^{2} — 5y^{2} + 4 = 0$$

Заменяем $x$ на $y^2$:

$$(y^2)^2 — 5y^2 + 4 = 0$$

Получаем:

$$y^4 — 5y^2 + 4 = 0$$

Шаг 3. Введем замену $z = y^2$, чтобы упростить уравнение:

$$z^2 — 5z + 4 = 0$$

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9$$

Находим корни уравнения:

$$z_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 3}{2} = 1$$ $$z_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4$$

Шаг 4. Подставим обратно $z = y^2$. Получаем два возможных значения для $y^2$:

1. $y^2 = 1$, то $y = \pm 1$
2. $y^2 = 4$, то $y = \pm 2$

Шаг 5. Теперь находим значения $x$, используя $x = y^2$:

1. Если $y = 1$, то $x = 1^2 = 1$
2. Если $y = 2$, то $x = 2^2 = 4$

Шаг 6. Учитывая, что $x > 0$ и $y > 0$, выбираем только положительные значения:

• $x = 1$, $y = 1$
• $x = 4$, $y = 2$

Ответ: $(1; 1)$ и $(4; 2)$.

2) Система уравнений:

$$\begin{cases} x^{2} + y^{4} = 16 \\ \log_{2} x + 2 \log_{2} y = 3 \end{cases}$$

Шаг 1. Преобразуем второе уравнение:

$$\log_{2} x + 2 \log_{2} y = 3$$

Используем свойство логарифмов $2 \log_2 y = \log_2 y^2$, получаем:

$$\log_{2} x + \log_{2} y^2 = 3$$

Теперь применяем свойство логарифмов $\log_2 a + \log_2 b = \log_2 (a \cdot b)$:

$$\log_2 (x \cdot y^2) = 3$$

Преобразуем в экспоненциальную форму:

$$x \cdot y^2 = 2^3$$

Получаем:

$$x \cdot y^2 = 8$$

Из этого выражения находим $x$:

$$x = \frac{8}{y^2} \tag{2}$$

Шаг 2. Подставим $x = \frac{8}{y^2}$ в первое уравнение:

$$\left( \frac{8}{y^2} \right)^2 + y^4 = 16$$

Приводим к более простому виду:

$$\frac{64}{y^4} + y^4 = 16$$

Умножим обе части уравнения на $y^4$ (учитывая, что $y > 0$):

$$64 + y^8 = 16y^4$$

Перепишем уравнение:

$$y^8 — 16y^4 + 64 = 0$$

Шаг 3. Введем замену $z = y^4$. Получаем:

$$z^2 — 16z + 64 = 0$$

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-16)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 64 = 256 — 256 = 0$$

Корень уравнения:

$$z = \frac{-(-16)}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8$$

Шаг 4. Подставляем $z = y^4$:

$$y^4 = 8$$

Таким образом, $y = \sqrt[4]{8}$.

Шаг 5. Теперь находим $x$ из выражения $x = \frac{8}{y^2}$. Подставляем $y^2 = \sqrt{8}$:

$$x = \frac{8}{\sqrt{8}} = \sqrt{8}$$

Ответ: $(\sqrt{8}; \sqrt[4]{8})$.

Итоговый ответ:

1. $(1; 1)$ и $(4; 2)$
2. $(\sqrt{8}; \sqrt[4]{8})$