ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1426 Алимов — Подробные Ответы

Решить систему уравнений (1426—1431).

1) система

2(x+y)=32,

3(3y-x)=27;

2) система

3x-2^2y=77,

3x/2-2y=7;

3) система

3x*2y=576,

logкорень 2(y-x)=4;

4) система

lgx+lgy=4,

xlgy=1000.

1)

$$\begin{cases} 2^{x+y} = 32 \\ 3^{3y-x} = 27 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2^{x+y} = 2^5 \\ 3^{3y-x} = 3^3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + y = 5 \\ 3y — x = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 5 — y \\ x = 3y — 3 \end{cases}$$ $$5 — y = 3y — 3;$$ $$-4y = -8, \text{отсюда } y = 2;$$ $$x = 5 — 2 = 3;$$

Ответ: $(3; 2)$.

2)

$$\begin{cases} 3^x — 2^{2y} = 77 \\ 3^{\frac{x}{2}} — 2^y = 7 \end{cases}$$

Пусть $a = 3^{\frac{x}{2}}$ и $b = 2^y$, тогда:

$$\begin{cases} a^2 — b^2 = 77 \\ a — b = 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a^2 — b^2 — 77 = 0 \\ a = 7 + b \end{cases}$$ $$(7 + b)^2 — b^2 — 77 = 0;$$ $$49 + 14b + b^2 — b^2 — 77 = 0;$$ $$14b — 28 = 0;$$ $$b — 2 = 0, \text{отсюда } b = 2;$$ $$a = 7 + 2 = 9;$$

Первое значение:

$$3^{\frac{x}{2}} = 9;$$ $$3^{\frac{x}{2}} = 3^2;$$ $$\frac{x}{2} = 2, \text{отсюда } x = 4;$$

Второе значение:

$$2^y = 2, \text{отсюда } y = 1;$$

Ответ: $(4; 1)$.

3)

$$\begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 576 \\ \log_{\sqrt{2}} (y — x) = 4 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 9 \cdot 64 \\ \log_{\sqrt{2}} (y — x) = \log_{\sqrt{2}} (\sqrt{2})^4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 3^2 \cdot 2^6 \\ y — x = 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 3^2 \cdot 2^6 \\ y = x + 4 \end{cases}$$ $$3^x \cdot 2^{x+4} = 3^2 \cdot 2^6;$$ $$3^x \cdot 2^x \cdot 2^4 = 3^2 \cdot 2^6;$$ $$3^x \cdot 2^x = 3^2 \cdot 2^2, \text{отсюда } x = 2;$$ $$y = x + 4 = 2 + 4 = 6;$$

Ответ: $(2; 6)$.

4)

$$\begin{cases} \lg x + \lg y = 4 \\ x^{\lg y} = 1000 \end{cases}$$ $$\begin{cases} \lg xy = \lg 10^4 \\ \log_x x^{\lg y} = \log_x 1000 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy = 10^4 \\ \lg y = \log_x 10^3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = \frac{10^4}{x} \\ \lg y = \log_x 10^3 \end{cases}$$ $$\lg \frac{10^4}{x} = \log_x 10^3;$$ $$\lg 10^4 — \lg x = \frac{\lg 10^3}{\lg x};$$ $$4 — \lg x = \frac{3}{\lg x};$$ $$4 \lg x — \lg^2 x = 3;$$

Пусть $a = \lg x$, тогда:

$$4a — a^2 = 3;$$ $$a^2 — 4a + 3 = 0;$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4;$$

тогда:

$$a_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad a = \frac{4 + 2}{2} = 3;$$

Первое значение:

$$\lg x = 1;$$ $$\lg x = \lg 10^1, \text{отсюда } x = 10;$$ $$y = \frac{10^4}{10} = 10^3 = 1000;$$

Второе значение:

$$\lg x = 3;$$ $$\lg x = \lg 10^3, \text{отсюда } x = 1000;$$ $$y = \frac{10^4}{1000} = 10;$$

Ответ: $(10; 1000); (1000; 10)$.

1) Система уравнений:

$$\begin{cases} 2^{x+y} = 32 \\ 3^{3y-x} = 27 \end{cases}$$

Шаг 1. Преобразуем уравнения, используя известные степени:

Первое уравнение:

$$2^{x+y} = 32$$

Заметим, что $32 = 2^5$. Поэтому:

$$2^{x+y} = 2^5$$

Так как основания одинаковы, приравниваем показатели степеней:

$$x + y = 5 \tag{1}$$

Второе уравнение:

$$3^{3y — x} = 27$$

Заметим, что $27 = 3^3$. Поэтому:

$$3^{3y — x} = 3^3$$

Приравниваем показатели степеней:

$$3y — x = 3 \tag{2}$$

Шаг 2. Решаем систему уравнений $x + y = 5$ и $3y — x = 3$.

Из уравнения (1) выражаем $x$:

$$x = 5 — y \tag{3}$$

Подставляем выражение для $x$ из (3) в уравнение (2):

$$3y — (5 — y) = 3$$ $$3y — 5 + y = 3$$ $$4y = 8$$ $$y = 2$$

Шаг 3. Подставляем значение $y = 2$ в выражение для $x$ из (3):

$$x = 5 — 2 = 3$$

Ответ: $(3; 2)$

2) Система уравнений:

$$\begin{cases} 3^x — 2^{2y} = 77 \\ 3^{\frac{x}{2}} — 2^y = 7 \end{cases}$$

Шаг 1. Введем новые переменные для упрощения решения. Пусть $a = 3^{\frac{x}{2}}$ и $b = 2^y$. Подставляем эти новые переменные в исходную систему:

$$\begin{cases} a^2 — b^2 = 77 \\ a — b = 7 \end{cases}$$

Шаг 2. Из уравнения $a — b = 7$ выразим $a$:

$$a = 7 + b \tag{4}$$

Шаг 3. Подставим это выражение для $a$ в уравнение $a^2 — b^2 = 77$:

$$(7 + b)^2 — b^2 = 77$$ $$49 + 14b + b^2 — b^2 = 77$$ $$49 + 14b = 77$$ $$14b = 28$$ $$b = 2$$

Шаг 4. Подставляем значение $b = 2$ в выражение для $a$ из (4):

$$a = 7 + 2 = 9$$

Шаг 5. Теперь, зная $a = 9$ и $b = 2$, найдем $x$ и $y$.

Из $a = 3^{\frac{x}{2}}$ имеем:

$$3^{\frac{x}{2}} = 9$$ $$3^{\frac{x}{2}} = 3^2$$ $$\frac{x}{2} = 2$$ $$x = 4$$

Из $b = 2^y$ имеем:

$$2^y = 2$$ $$y = 1$$

Ответ: $(4; 1)$

3) Система уравнений:

$$\begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 576 \\ \log_{\sqrt{2}} (y — x) = 4 \end{cases}$$

Шаг 1. Перепишем систему:

Первое уравнение:

$$3^x \cdot 2^y = 576$$

Заметим, что $576 = 9 \cdot 64 = 3^2 \cdot 2^6$. Поэтому:

$$3^x \cdot 2^y = 3^2 \cdot 2^6$$

Приравниваем множители:

$$3^x = 3^2 \quad \text{и} \quad 2^y = 2^6$$

Из этого получаем:

$$x = 2 \quad \text{и} \quad y = 6$$

Второе уравнение:

$$\log_{\sqrt{2}} (y — x) = 4$$

Заметим, что $\log_{\sqrt{2}} (\sqrt{2})^4 = 4$. Таким образом, получаем:

$$y — x = 4$$

Подставляем значения $x = 2$ и $y = 6$:

$$6 — 2 = 4$$

Условие выполнено.

Ответ: $(2; 6)$

4) Система уравнений:

$$\begin{cases} \lg x + \lg y = 4 \\ x^{\lg y} = 1000 \end{cases}$$

Шаг 1. Преобразуем первое уравнение. Используем формулу логарифма произведения:

$$\lg(xy) = \lg 10^4$$

Таким образом:

$$xy = 10^4 = 10000$$

Шаг 2. Преобразуем второе уравнение. Используем свойство логарифмов:

$$\log_x x^{\lg y} = \lg y$$

Поэтому:

$$\lg y = \log_x 10^3$$

Шаг 3. Подставим выражение $y = \frac{10^4}{x}$ из первого уравнения во второе:

$$\lg \frac{10^4}{x} = \log_x 10^3$$ $$\lg 10^4 — \lg x = \frac{\lg 10^3}{\lg x}$$ $$4 — \lg x = \frac{3}{\lg x}$$ $$4 \lg x — \lg^2 x = 3$$

Шаг 4. Пусть $a = \lg x$, тогда:

$$4a — a^2 = 3$$ $$a^2 — 4a + 3 = 0$$

Шаг 5. Решим квадратное уравнение:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$ $$a_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$$

Шаг 6. Теперь, зная значения $a$, найдем $x$ и $y$.

• Если $a = 1$, то $\lg x = 1$, $x = 10$.
• Если $a = 3$, то $\lg x = 3$, $x = 1000$.

Для $x = 10$:

$$y = \frac{10^4}{10} = 10^3 = 1000$$

Для $x = 1000$:

$$y = \frac{10^4}{1000} = 10$$

Ответ: $(10; 1000); (1000; 10)$

Итоговый ответ:

1. $(3; 2)$
2. $(4; 1)$
3. $(2; 6)$
4. $(10; 1000); (1000; 10)$