ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1425 Алимов — Подробные Ответы

1) система

x/y — y/x = 3/2,

x2+y2=20;

2) система

y/x+x/y = 3*1/3,

x2-y2=8;

3) система

x2=13x+4y,

y2=4x+13y;

4)система

3×2+y2-4x=40,

2×2+y2+3x=52.

1)

$$\{\begin{array}{l}\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{3}{2}\\ x^2+y^2=20\end{array}$$

Пусть $z=\frac{x}{y}$, тогда:

$$z-\frac{1}{z}=\frac{3}{2}\mathrm{\mid }\cdot 2z;$$$$2z^2-2=3z;$$$$2z^2-3z-2=0;$$$$D=3^2+4\cdot 2\cdot 2=9+16=25,\text{тогда:}$$$$z_1=\frac{3-5}{2\cdot 2}=-\frac{1}{2}\text{и}{z}_2=\frac{3+5}{2\cdot 2}=2;$$

Первое значение:

$$\{\begin{array}{ll}\frac{x}{y}=-\frac{1}{2}& \Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-0.5y\\ x^2+y^2-20=0\end{array}\end{array}$$$$(-0.5y{)}^2+y^2-20=0;$$$$0.25y^2+y^2=20;$$$$1.25y^2=20;$$$$y^2=16,\text{отсюда }y=\pm 4;$$$$x_1=-0.5\cdot (-4)=2;$$$$x_2=-0.5\cdot 4=-2;$$

Второе значение:

$$\{\begin{array}{ll}\frac{x}{y}=2& \Rightarrow \{\begin{array}{l}x=2y\\ x^2+y^2-20=0\end{array}\end{array}$$$$(2y{)}^2+y^2-20=0;$$$$4y^2+y^2=20;$$$$5y^2=20;$$$$y^2=4,\text{отсюда }y=\pm 2;$$$$x_1=2\cdot (-2)=-4;$$$$x_2=2\cdot 2=4;$$

Ответ: $(2;-4);(-2;4);(-4;-2);(4;2)$.

2)

$$\{\begin{array}{l}\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=3\frac{1}{3}\\ x^2-y^2=8\end{array}$$

Пусть $z=\frac{x}{y}$, тогда:

$$z+\frac{1}{z}=3\frac{1}{3}\mathrm{\mid }\cdot 3z;$$$$3z^2+3=(9+1)z;$$$$3z^2-10z+3=0;$$$$D={10}^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64,\text{тогда:}$$$$z_1=\frac{10-8}{2\cdot 3}=\frac{1}{3}\text{и}{z}_2=\frac{10+8}{2\cdot 3}=3;$$

Первое значение:

$$\{\begin{array}{ll}\frac{x}{y}=\frac{1}{3}& \Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}y\\ x^2-y^2=8\end{array}\end{array}$$$${\left(\frac{1}{3}y\right)}^2-y^2=8;$$$$\frac{1}{9}{y}^2-y^2=8;$$$$-\frac{8}{9}{y}^2=8;$$$$y^2=-9\text{— корней нет};$$

Второе значение:

$$\{\begin{array}{ll}\frac{x}{y}=3& \Rightarrow \{\begin{array}{l}x=3y\\ x^2-y^2=8\end{array}\end{array}$$$$(3y{)}^2-y^2=8;$$$$9y^2-y^2=8;$$$$8y^2=8;$$$$y^2=1,\text{отсюда }y=\pm 1;$$$$x_1=3\cdot (-1)=-3;$$$$x_2=3\cdot 1=3;$$

Ответ: $(-3;-1);(3;1)$.

3)

$$\{\begin{array}{l}{x}^2=13x+4y\\ x^2-y^2=13x-4x+4y-13y\end{array}$$$$x^2-y^2=9(x-y);$$$$(x-y)(x+y)=9(x-y);$$$$(x-y)\cdot (x+y-9)=0;$$

Первое значение:

$$\{\begin{array}{ll}x-y=0& \Rightarrow \{\begin{array}{l}x=y\\ y^2-13y-4y=0\end{array}\end{array}$$$$y^2-17y=0;$$$$y\cdot (y-17)=0;$$$$y_1=0\text{и}{y}_2=17;$$$$x_1=0\text{и}{x}_2=17;$$

Второе значение:

$$\{\begin{array}{ll}x+y-9=0& \Rightarrow \{\begin{array}{l}x=9-y\\ y^2-13y-4x=0\end{array}\end{array}$$$$y^2-13y-4(9-y)=0;$$$$y^2-13y-36+4y=0;$$$$y^2-9y-36=0;$$$$D=9^2+4\cdot 36=81+144=225,\text{тогда:}$$$$y_1=\frac{9-15}{2}=-3\text{и}{y}_2=\frac{9+15}{2}=12;$$$$x_1=9+3=12\text{и}{x}_2=9-12=-3;$$

Ответ: $(0;0);(17;17);(12;-3);(-3;12)$.

4)

$$\{\begin{array}{l}3x^2+y^2-4x=40\\ 2x^2+y^2+3x=52\end{array}$$$$\{\begin{array}{l}y=\sqrt{40-3x^2+4x}\\ 2x^2+y^2+3x=52\end{array}$$$$3x^2-2x^2+y^2-y^2-4x-3x=40-52;$$$$x^2-7x=-12;$$$$x^2-7x+12=0;$$$$D=7^2-4\cdot 12=49-48=1,\text{тогда:}$$$$x_1=\frac{7-1}{2}=3\text{и}{x}_2=\frac{7+1}{2}=4;$$$$y_1=\sqrt{40-3\cdot 3^2+4\cdot 3}=\sqrt{40-27+12}=\sqrt{25}=\pm 5;$$$$y_2=\sqrt{40-3\cdot 4^2+4\cdot 4}=\sqrt{40-48+16}=\sqrt{8}=\pm 2\sqrt{2};$$

Ответ: $(3;-5);(3;5);(4;-2\sqrt{2});(4;2\sqrt{2})$.

1. Система уравнений:

$$\begin{cases} \frac{x}{y} — \frac{y}{x} = \frac{3}{2} \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}$$

Шаг 1. Введем замену $z = \frac{x}{y}$. Тогда первое уравнение преобразуется в:

$$z — \frac{1}{z} = \frac{3}{2}$$

Умножим обе стороны на $2z$:

$$2z^2 — 2 = 3z$$

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:

$$2z^2 — 3z — 2 = 0$$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $2z^2 — 3z — 2 = 0$ вычислим дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$

Теперь находим корни уравнения:

$$z_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 — 5}{4} = -\frac{1}{2}$$ $$z_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = 2$$

Таким образом, $z_1 = -\frac{1}{2}$ и $z_2 = 2$.

Шаг 3. Теперь решим систему для каждого значения $z$.

• Для $z = -\frac{1}{2}$, то есть $\frac{x}{y} = -\frac{1}{2}$, получаем:

$$x = -0.5y$$

Подставляем это в уравнение $x^2 + y^2 = 20$:

$$(-0.5y)^2 + y^2 = 20$$ $$0.25y^2 + y^2 = 20$$ $$1.25y^2 = 20$$ $$y^2 = \frac{20}{1.25} = 16$$ $$y = \pm 4$$

Для $y = 4$, $x = -0.5 \cdot 4 = -2$, а для $y = -4$, $x = -0.5 \cdot (-4) = 2$.

Таким образом, для $z = -\frac{1}{2}$ получаем точки $(2; -4)$ и $(-2; 4)$.

• Для $z = 2$, то есть $\frac{x}{y} = 2$, получаем:

$$x = 2y$$

Подставляем это в уравнение $x^2 + y^2 = 20$:

$$(2y)^2 + y^2 = 20$$ $$4y^2 + y^2 = 20$$ $$5y^2 = 20$$ $$y^2 = 4$$ $$y = \pm 2$$

Для $y = 2$, $x = 2 \cdot 2 = 4$, а для $y = -2$, $x = 2 \cdot (-2) = -4$.

Таким образом, для $z = 2$ получаем точки $(-4; -2)$ и $(4; 2)$.

Ответ: $(2; -4), (-2; 4), (-4; -2), (4; 2)$.

2. Система уравнений:

$$\begin{cases} \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 3 \frac{1}{3} \\ x^2 — y^2 = 8 \end{cases}$$

Шаг 1. Введем замену $z = \frac{x}{y}$. Тогда второе уравнение становится:

$$z + \frac{1}{z} = 3 \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$$

Умножим обе стороны на $3z$:

$$3z^2 + 3 = 10z$$

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:

$$3z^2 — 10z + 3 = 0$$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $3z^2 — 10z + 3 = 0$ вычислим дискриминант:

$$D = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64$$

Теперь находим корни уравнения:

$$z_1 = \frac{-(-10) — \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 — 8}{6} = \frac{1}{3}$$ $$z_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = 3$$

Таким образом, $z_1 = \frac{1}{3}$ и $z_2 = 3$.

Шаг 3. Теперь решим систему для каждого значения $z$.

• Для $z = \frac{1}{3}$, то есть $\frac{x}{y} = \frac{1}{3}$, получаем:

$$x = \frac{1}{3}y$$

Подставляем это в уравнение $x^2 — y^2 = 8$:

$$\left( \frac{1}{3}y \right)^2 — y^2 = 8$$ $$\frac{1}{9}y^2 — y^2 = 8$$ $$-\frac{8}{9}y^2 = 8$$ $$y^2 = -9 \quad \text{— корней нет}$$

Значит, для $z = \frac{1}{3}$ решений нет.

• Для $z = 3$, то есть $\frac{x}{y} = 3$, получаем:

$$x = 3y$$

Подставляем это в уравнение $x^2 — y^2 = 8$:

$$(3y)^2 — y^2 = 8$$ $$9y^2 — y^2 = 8$$ $$8y^2 = 8$$ $$y^2 = 1$$ $$y = \pm 1$$

Для $y = 1$, $x = 3 \cdot 1 = 3$, а для $y = -1$, $x = 3 \cdot (-1) = -3$.

Ответ: $(-3; -1), (3; 1)$.

3. Система уравнений:

$$\begin{cases} x^2 = 13x + 4y \\ x^2 — y^2 = 13x — 4x + 4y — 13y \end{cases}$$

Шаг 1. Преобразуем второе уравнение:

$$x^2 — y^2 = 9(x — y)$$

Разбираем на множители:

$$(x — y)(x + y) = 9(x — y)$$

Если $x — y \neq 0$, то можно поделить на $x — y$ и получить:

$$x + y = 9$$

Шаг 2. Рассмотрим два случая: $x — y = 0$ и $x + y = 9$.

Случай 1. $x — y = 0$, то есть $x = y$:

Подставляем в первое уравнение:

$$x^2 = 13x + 4x = 17x$$ $$x^2 — 17x = 0$$ $$x(x — 17) = 0$$

Отсюда $x = 0$ или $x = 17$.

Если $x = 0$, то $y = 0$, а если $x = 17$, то $y = 17$.

Случай 2. $x + y = 9$:

Подставляем в первое уравнение:

$$x^2 = 13x + 4y = 13x + 4(9 — x) = 13x + 36 — 4x = 9x + 36$$ $$x^2 — 9x — 36 = 0$$

Вычисляем дискриминант:

$$D = 9^2 — 4 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225$$

Корни:

$$x_1 = \frac{9 — 15}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{9 + 15}{2} = 12$$

Для $x_1 = -3$, $y = 9 — (-3) = 12$, а для $x_2 = 12$, $y = 9 — 12 = -3$.

Ответ: $(0; 0), (17; 17), (12; -3), (-3; 12)$.

4. Система уравнений:

$$\begin{cases} 3x^2 + y^2 — 4x = 40 \\ 2x^2 + y^2 + 3x = 52 \end{cases}$$

Шаг 1. Выразим $y$ через $x$ из первого уравнения:

$$y^2 = 40 — 3x^2 + 4x$$

Подставляем это во второе уравнение:

$$2x^2 + (40 — 3x^2 + 4x) + 3x = 52$$ $$2x^2 + 40 — 3x^2 + 4x + 3x = 52$$ $$-x^2 + 7x + 40 = 52$$ $$-x^2 + 7x — 12 = 0$$ $$x^2 — 7x + 12 = 0$$

Вычисляем дискриминант:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1$$

Корни:

$$x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4$$

Для $x_1 = 3$, находим $y_1$:

$$y_1^2 = 40 — 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3 = 40 — 27 + 12 = 25 \quad \Rightarrow \quad y_1 = \pm 5$$

Для $x_2 = 4$, находим $y_2$:

$$y_2^2 = 40 — 3 \cdot 4^2 + 4 \cdot 4 = 40 — 48 + 16 = 8 \quad \Rightarrow \quad y_2 = \pm 2\sqrt{2}$$

Ответ: $(3; -5), (3; 5), (4; -2\sqrt{2}), (4; 2\sqrt{2})$.