ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1423 Алимов — Подробные Ответы

Найти действительные решения системы уравнений (1423—1425).

1)система

y+5=x2,

x2+y2=23;

2) система xy=16,

x/y=4;

3) система

x2+2y2=96,

x=2y.

1)

$$\begin{cases} y + 5 = x^2 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases} y = x^2 — 5 \\ x^2 + y^2 — 25 = 0 \end{cases}$$ $$x^2 + (x^2 — 5)^2 — 25 = 0;$$ $$x^2 + x^4 — 10x^2 + 25 — 25 = 0;$$ $$x^4 — 9x^2 = 0;$$ $$x^2 \cdot (x^2 — 9) = 0;$$ $$(x + 3) \cdot x^2 \cdot (x — 3) = 0;$$ $$x_1 = -3; \quad x_2 = 0; \quad x_3 = 3;$$ $$y_1 = (-3)^2 — 5 = 9 — 5 = 4;$$ $$y_2 = 0^2 — 5 = -5;$$ $$y_3 = (3)^2 — 5 = 9 — 5 = 4;$$

Ответ: $(-3; 4)$; $(0; -5)$; $(3; 4)$.

2)

$$\begin{cases} xy = 16 \\ \frac{x}{y} = 4 \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases} x = \frac{16}{y} \\ x = 4y \end{cases}$$ $$16 = 4y^2;$$ $$y^2 = 4, \text{отсюда } y = \pm 2;$$ $$x_1 = 4 \cdot (-2) = -8;$$ $$x_2 = 4 \cdot 2 = 8;$$

Ответ: $(-8; -2)$; $(8; 2)$.

3)

$$\begin{cases} x^2 + 2y^2 = 96 \\ x = 2y \end{cases}$$ $$(2y)^2 + 2y^2 = 96;$$ $$4y^2 + 2y^2 = 96;$$ $$6y^2 = 96;$$ $$y^2 = 16, \text{отсюда } y = \pm 4;$$ $$x_1 = 2 \cdot (-4) = -8;$$ $$x_2 = 2 \cdot 4 = 8;$$

Ответ: $(-8; -4)$; $(8; 4)$.

Задача 1:

Дана система уравнений:

$$\begin{cases} y + 5 = x^2 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}$$

Шаг 1: Выражаем $y$ через $x$

Из первого уравнения $y + 5 = x^2$ выражаем $y$:

$$y = x^2 — 5$$

Шаг 2: Подставляем выражение для $y$ во второе уравнение

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение $x^2 + y^2 = 25$:

$$x^2 + (x^2 — 5)^2 = 25$$

Шаг 3: Раскрываем скобки

Раскроем скобки на левой стороне:

$$x^2 + (x^2 — 5)^2 = x^2 + (x^4 — 10x^2 + 25)$$

Теперь у нас:

$$x^2 + x^4 — 10x^2 + 25 = 25$$

Шаг 4: Упростим уравнение

Теперь упростим выражение:

$$x^2 + x^4 — 10x^2 + 25 = 25$$

Отнимем 25 с обеих сторон:

$$x^2 + x^4 — 10x^2 = 0$$ $$x^4 — 9x^2 = 0$$

Шаг 5: Выносим общий множитель

Вынесем $x^2$ за скобки:

$$x^2(x^2 — 9) = 0$$

Шаг 6: Решаем для $x$

Теперь решим это уравнение. Оно имеет два множителя: $x^2 = 0$ и $x^2 — 9 = 0$.

1. $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$
2. $x^2 — 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$

Таким образом, $x = 0$, $x = 3$ и $x = -3$.

Шаг 7: Находим соответствующие значения для $y$

Теперь найдем $y$ для каждого значения $x$.

1. Если $x = 0$, то $y = 0^2 — 5 = -5$.
2. Если $x = 3$, то $y = 3^2 — 5 = 9 — 5 = 4$.
3. Если $x = -3$, то $y = (-3)^2 — 5 = 9 — 5 = 4$.

Ответ для задачи 1:

Решения: $(-3; 4)$, $(0; -5)$, $(3; 4)$.

Задача 2:

Дана система уравнений:

$$\begin{cases} xy = 16 \\ \frac{x}{y} = 4 \end{cases}$$

Шаг 1: Выражаем $x$ через $y$

Из второго уравнения $\frac{x}{y} = 4$ выразим $x$:

$$x = 4y$$

Шаг 2: Подставляем выражение для $x$ в первое уравнение

Подставим $x = 4y$ в первое уравнение $xy = 16$:

$$4y \cdot y = 16$$ $$4y^2 = 16$$

Шаг 3: Решаем для $y$

Теперь разделим обе стороны на 4:

$$y^2 = 4$$

Таким образом, $y = \pm 2$.

Шаг 4: Находим соответствующие значения для $x$

Теперь подставим $y = 2$ и $y = -2$ в $x = 4y$.

1. Если $y = 2$, то $x = 4 \cdot 2 = 8$.
2. Если $y = -2$, то $x = 4 \cdot (-2) = -8$.

Ответ для задачи 2:

Решения: $(-8; -2)$, $(8; 2)$.

Задача 3:

Дана система уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + 2y^2 = 96 \\ x = 2y \end{cases}$$

Шаг 1: Подставляем выражение для $x$ во второе уравнение

Из второго уравнения $x = 2y$ подставим $x = 2y$ в первое уравнение $x^2 + 2y^2 = 96$:

$$(2y)^2 + 2y^2 = 96$$

Шаг 2: Упростим выражение

Рассчитаем:

$$4y^2 + 2y^2 = 96$$ $$6y^2 = 96$$

Шаг 3: Решаем для $y$

Теперь разделим обе стороны на 6:

$$y^2 = 16$$

Таким образом, $y = \pm 4$.

Шаг 4: Находим соответствующие значения для $x$

Теперь подставим $y = 4$ и $y = -4$ в $x = 2y$.

1. Если $y = 4$, то $x = 2 \cdot 4 = 8$.
2. Если $y = -4$, то $x = 2 \cdot (-4) = -8$.

Ответ для задачи 3:

Решения: $(-8; -4)$, $(8; 4)$.

Итоговые ответы:

1. Для системы $\begin{cases} y + 5 = x^2 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}$ решение: $(-3; 4)$, $(0; -5)$, $(3; 4)$.
2. Для системы $\begin{cases} xy = 16 \\ \frac{x}{y} = 4 \end{cases}$ решение: $(-8; -2)$, $(8; 2)$.
3. Для системы $\begin{cases} x^2 + 2y^2 = 96 \\ x = 2y \end{cases}$ решение: $(-8; -4)$, $(8; 4)$.