ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1422 Алимов — Подробные Ответы

1. $$\begin{cases} \frac{x-y}{5} — \frac{x+y}{2} = 10 & | \cdot 10 \\ \frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 10 & | \cdot 10 \end{cases}$$ $$$$
2. $$\begin{cases} \frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{3} = 6 & | \cdot 6 \\ \frac{x+y}{4} — \frac{x-y}{3} = 0 & | \cdot 12 \end{cases}$$ $$$$

1)

$$\begin{cases} \frac{x-y}{5} — \frac{x+y}{2} = 10 & | \cdot 10 \\ \frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 10 & | \cdot 10 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 2(x-y) — 5(x+y) = 100 & \\ 2x + 5y = 100 & \end{cases}$$ $$\begin{cases} 2x — 2y — 5x — 5y = 100 & \\ 2x + 5y = 100 & \end{cases}$$ $$\begin{cases} -3x — 7y = 100 & \\ 2x + 5y = 100 & \end{cases}$$ $$\begin{cases} -3x = 100 + 7y & \\ 2x = 100 — 5y & \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = -\frac{100}{3} — \frac{7}{3}y & \\ x = 50 — 2.5y & \end{cases}$$ $$-\frac{100}{3} — \frac{7}{3}y = 50 — 2.5y \quad | \cdot 3;$$ $$-100 — 7y = 150 — 7.5y;$$ $$0.5y = 250, \text{ отсюда } y = 500;$$ $$x = 50 — 2.5 \cdot 500 = 50 — 1250 = -1200;$$

Ответ: $(-1200; 500)$.

2)

$$\begin{cases} \frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{3} = 6 & | \cdot 6 \\ \frac{x+y}{4} — \frac{x-y}{3} = 0 & | \cdot 12 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 3(x+y) + 2(x-y) = 36 & \\ 3(x+y) — 4(x-y) = 0 & \end{cases}$$ $$\begin{cases} 5x + y = 36 & \\ — x + 7y = 0 & \end{cases}$$ $$\begin{cases} y = 36 — 5x & \\ 7y = x & \end{cases}$$ $$\begin{cases} y = 36 — 5x & \\ y = \frac{x}{7} & \end{cases}$$ $$36 — 5x = \frac{x}{7} \quad | \cdot 7;$$ $$252 — 35x = x;$$ $$36x = 252, \text{ отсюда } x = 7;$$ $$y = 36 — 5 \cdot 7 = 36 — 35 = 1;$$

Ответ: $(7; 1)$.

Задача 1:

Дана система уравнений:

$$\begin{cases} \frac{x — y}{5} — \frac{x + y}{2} = 10 \\ \frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 10 \end{cases}$$

Шаг 1: Умножим обе части уравнений на 10

Для того чтобы избавиться от дробей, умножим обе части первого и второго уравнений на 10:

$$\left(\frac{x — y}{5} — \frac{x + y}{2}\right) \cdot 10 = 10 \cdot 10$$

Тогда первое уравнение примет вид:

$$2(x — y) — 5(x + y) = 100$$

Также умножим второе уравнение на 10:

$$\left(\frac{x}{5} + \frac{y}{2}\right) \cdot 10 = 10 \cdot 10$$

Второе уравнение станет:

$$2x + 5y = 100$$

Теперь у нас есть система:

$$\begin{cases} 2(x — y) — 5(x + y) = 100 \\ 2x + 5y = 100 \end{cases}$$

Шаг 2: Раскроем скобки

Раскроем скобки в первом уравнении:

$$2(x — y) — 5(x + y) = 100$$

Получим:

$$2x — 2y — 5x — 5y = 100$$

Упростим:

$$-3x — 7y = 100$$

Теперь система уравнений выглядит так:

$$\begin{cases} -3x — 7y = 100 \\ 2x + 5y = 100 \end{cases}$$

Шаг 3: Выразим одно из переменных

Выразим $x$ через $y$ из второго уравнения $2x + 5y = 100$:

$$2x = 100 — 5y$$ $$x = 50 — 2.5y$$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение.

Шаг 4: Подставляем выражение для $x$

Подставим $x = 50 — 2.5y$ в первое уравнение $-3x — 7y = 100$:

$$-3(50 — 2.5y) — 7y = 100$$

Раскроем скобки:

$$-150 + 7.5y — 7y = 100$$

Упростим:

$$-150 + 0.5y = 100$$

Шаг 5: Решаем для $y$

Теперь перенесем $-150$ на правую сторону:

$$0.5y = 250$$

Теперь делим обе стороны на 0.5:

$$y = 500$$

Шаг 6: Находим $x$

Теперь подставим $y = 500$ в выражение для $x = 50 — 2.5y$:

$$x = 50 — 2.5 \times 500$$ $$x = 50 — 1250 = -1200$$

Ответ для задачи 1:

$$(x, y) = (-1200, 500)$$

Задача 2:

Дана система уравнений:

$$\begin{cases} \frac{x + y}{2} + \frac{x — y}{3} = 6 \\ \frac{x + y}{4} — \frac{x — y}{3} = 0 \end{cases}$$

Шаг 1: Умножим обе части уравнений на подходящие множители

Для того чтобы избавиться от дробей, умножим каждое уравнение на подходящий множитель.

Первое уравнение умножим на 6 (наименьшее общее кратное 2 и 3):

$$6 \cdot \left(\frac{x + y}{2} + \frac{x — y}{3}\right) = 6 \cdot 6$$

Получим:

$$3(x + y) + 2(x — y) = 36$$

Второе уравнение умножим на 12 (наименьшее общее кратное 4 и 3):

$$12 \cdot \left(\frac{x + y}{4} — \frac{x — y}{3}\right) = 12 \cdot 0$$

Получим:

$$3(x + y) — 4(x — y) = 0$$

Теперь система уравнений выглядит так:

$$\begin{cases} 3(x + y) + 2(x — y) = 36 \\ 3(x + y) — 4(x — y) = 0 \end{cases}$$

Шаг 2: Раскрываем скобки и упрощаем

Первое уравнение:

$$3(x + y) + 2(x — y) = 36$$

Раскроем скобки:

$$3x + 3y + 2x — 2y = 36$$

Упростим:

$$5x + y = 36$$

Второе уравнение:

$$3(x + y) — 4(x — y) = 0$$

Раскроем скобки:

$$3x + 3y — 4x + 4y = 0$$

Упростим:

$$-x + 7y = 0$$

Теперь система выглядит так:

$$\begin{cases} 5x + y = 36 \\ -x + 7y = 0 \end{cases}$$

Шаг 3: Выразим $x$ через $y$

Из второго уравнения $-x + 7y = 0$ выразим $x$:

$$x = 7y$$

Шаг 4: Подставляем выражение для $x$ в первое уравнение

Подставим $x = 7y$ в первое уравнение $5x + y = 36$:

$$5(7y) + y = 36$$

Раскроем скобки:

$$35y + y = 36$$

Упростим:

$$36y = 36$$

Шаг 5: Находим $y$

Теперь делим обе стороны на 36:

$$y = 1$$

Шаг 6: Находим $x$

Теперь подставим $y = 1$ в $x = 7y$:

$$x = 7 \times 1 = 7$$

Ответ для задачи 2:

$$(x, y) = (7, 1)$$

Итоговые ответы:

1. Для системы $\begin{cases} \frac{x — y}{5} — \frac{x + y}{2} = 10 \\ \frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 10 \end{cases}$ решение: $(-1200, 500)$.
2. Для системы $\begin{cases} \frac{x + y}{2} + \frac{x — y}{3} = 6 \\ \frac{x + y}{4} — \frac{x — y}{3} = 0 \end{cases}$ решение: $(7, 1)$.