ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1420 Алимов — Подробные Ответы

1. a/b + b/c + c/a > = 3, если а > 0, b > 0, с > 0;
2. 2а2 + b2 + с2 > = 2а (b + с).

1) $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3$, если $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$;

$$\frac{1}{3} \cdot \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \right) \geq 1;$$ $$\frac{1}{3} \cdot \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \right) \geq \sqrt[3]{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}};$$

Среднее арифметическое не меньше среднего геометрического;

Неравенство доказано.

$2a^2 + b^2 + c^2 \geq 2a(b + c)$;

$$2a^2 + b^2 + c^2 \geq 2ab + 2ac;$$ $$a^2 — 2ab + b^2 + a^2 — 2ac + c^2 \geq 0;$$ $$(a — b)^2 + (a — c)^2 \geq 0;$$

Неравенство доказано.

Задача 1: $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3$, если $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$

Шаг 1: Используем неравенство для средних

Это неравенство напоминает неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Мы можем применить неравенство АМ-ГМ (среднее арифметическое — среднее геометрическое), которое гласит, что для любых положительных чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$:

$$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}$$

Или, другими словами, среднее арифметическое всегда больше или равно среднему геометрическому.

В данном случае $x_1 = \frac{a}{b}$, $x_2 = \frac{b}{c}$, $x_3 = \frac{c}{a}$. Для этих чисел можем применить неравенство АМ-ГМ:

$$\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}{3} \geq \sqrt[3]{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}}$$

Шаг 2: Преобразуем правую часть

Теперь упростим правую часть неравенства. В числителе произведение дробей:

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} = 1$$

Таким образом, неравенство принимает вид:

$$\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}{3} \geq \sqrt[3]{1}$$

А так как $\sqrt[3]{1} = 1$, мы получаем:

$$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3$$

Ответ для задачи 1:

$$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3$$

Неравенство доказано.

Задача 2: $2a^2 + b^2 + c^2 \geq 2a(b + c)$

Шаг 1: Преобразуем неравенство

Начнем с того, что перепишем исходное неравенство:

$$2a^2 + b^2 + c^2 \geq 2a(b + c)$$

Раскроем скобки на правой части:

$$2a^2 + b^2 + c^2 \geq 2ab + 2ac$$

Шаг 2: Переносим все члены на одну сторону

Теперь перенесем все члены на одну сторону:

$$2a^2 + b^2 + c^2 — 2ab — 2ac \geq 0$$

Шаг 3: Группируем выражения

Разделим выражение на две части:

$$(2a^2 — 2ab + b^2) + (2a^2 — 2ac + c^2) \geq 0$$

Теперь заметим, что каждое из выражений в скобках — это полный квадрат:

$$2a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2$$ $$2a^2 — 2ac + c^2 = (a — c)^2$$

Подставляем это в исходное неравенство:

$$(a — b)^2 + (a — c)^2 \geq 0$$

Шаг 4: Заключение

Квадрат любого числа всегда неотрицателен, поэтому выражение $(a — b)^2 + (a — c)^2 \geq 0$ всегда верно. Это означает, что исходное неравенство выполняется.

Ответ для задачи 2:

$$2a^2 + b^2 + c^2 \geq 2a(b + c)$$

Неравенство доказано.

Итоговые ответы:

1. $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3$, если $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$:
   Доказано.
2. $2a^2 + b^2 + c^2 \geq 2a(b + c)$:
   Доказано.