ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 142 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение:

1. x/(x+1) + 2x/(x-1) = 4x/(x2-1);
2. (x-1)/(x-2) — 2/x = 1/(x-2);
3. (x-3)(x-5) = 3(x-5);
4. (x-2)(x2+1)= 2(x2+1).

1) $\frac{x}{x+1} + \frac{2x}{x-1} = \frac{4x}{x^2-1}$

$$\frac{x(x-1) + 2x(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{4x}{x^2-1};$$

$$\frac{x^2 — x + 2x^2 + 2x}{x^2-1} — \frac{4x}{x^2-1} = 0;$$

$$\frac{3x^2 — x + 2x^2 + 2x — 4x}{x^2-1} = 0;$$

$$\frac{3x^2 — 3x}{x^2-1} = 0;$$

$$\frac{3x(x-1)}{(x-1)(x+1)} = 0;$$

$$\frac{3x}{x+1} = 0;$$

$$3x = 0, \quad \text{отсюда } x = 0.$$

Ответ: $x = 0$

2) $\frac{x-1}{x-2} — \frac{2}{x} = \frac{1}{x-2}$

$$\frac{x(x-1) — 2(x-2)}{x(x-2)} = \frac{x}{x(x-2)};$$

$$\frac{x^2 — x — 2x + 4}{x(x-2)} — \frac{x}{x(x-2)} = 0;$$

$$\frac{x^2 — 3x + 4 — x}{x(x-2)} = 0;$$

$$\frac{x^2 — 4x + 4}{x(x-2)} = 0;$$

$$\frac{(x-2)^2}{x(x-2)} = 0;$$

Так как знаменатель не может быть равен нулю, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

3) $(x-3)(x-5) = 3(x-5)$

$$(x-3)(x-5) — 3(x-5) = 0;$$

$$(x-5)(x-3-3) = 0;$$

$$(x-5)(x-6) = 0;$$

Отсюда:

$$x_1 = 5 \quad \text{и} \quad x_2 = 6.$$

Ответ: $x_1 = 5$ и $x_2 = 6$

4) $(x-2)(x^2+1) = 2(x^2+1)$

$$(x-2)(x^2+1) — 2(x^2+1) = 0;$$

$$(x^2+1)(x-2-2) = 0;$$

$$(x^2+1)(x-4) = 0;$$

Так как $x^2 + 1 \neq 0$ для всех действительных $x$, получаем:

$$x — 4 = 0, \quad \text{отсюда } x = 4.$$

Ответ: $x = 4$

1) Решение уравнения

$$\frac{x}{x+1} + \frac{2x}{x-1} = \frac{4x}{x^2-1}$$

Шаг 1: Приведение к общему знаменателю

Заметим, что $x^2 — 1$ можно разложить на множители:

$$x^2 — 1 = (x-1)(x+1)$$

Таким образом, общий знаменатель для всех дробей — $(x-1)(x+1)$

Перепишем левую часть уравнения, домножая каждую дробь:

$$\frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{2x(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{4x}{(x-1)(x+1)}$$

Объединяем дроби:

$$\frac{x(x-1) + 2x(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{4x}{(x-1)(x+1)}$$

Шаг 2: Упрощение числителя

Раскроем скобки:

$$x(x-1) = x^2 — x, \quad 2x(x+1) = 2x^2 + 2x$$

Складываем:

$$(x^2 — x) + (2x^2 + 2x) = 3x^2 + x$$

Значит, уравнение принимает вид:

$$\frac{3x^2 + x — 4x}{x^2-1} = 0$$

Упрощаем числитель:

$$3x^2 — 3x$$

Шаг 3: Разложение числителя на множители

$$3x(x-1) = 0$$

Решаем уравнение:

$$3x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0$$

Проверка ОДЗ: знаменатель $(x-1)(x+1)$ не должен быть равен нулю, то есть $x \neq \pm1$. Так как найденное $x = 0$удовлетворяет ОДЗ, оно является решением.

Ответ: $x = 0$

2) Решение уравнения

$$\frac{x-1}{x-2} — \frac{2}{x} = \frac{1}{x-2}$$

Шаг 1: Приведение к общему знаменателю

Общий знаменатель — $x(x-2)$, приводим к нему:

$$\frac{x(x-1)}{x(x-2)} — \frac{2(x-2)}{x(x-2)} = \frac{x}{x(x-2)}$$

Шаг 2: Объединение дробей в левой части

Раскрываем скобки:

$$x(x-1) = x^2 — x, \quad -2(x-2) = -2x + 4$$

Складываем:

$$x^2 — x — 2x + 4 = x^2 — 3x + 4$$

Теперь уравнение имеет вид:

$$\frac{x^2 — 3x + 4 — x}{x(x-2)} = 0$$

Упрощаем числитель:

$$x^2 — 4x + 4$$

Шаг 3: Разложение числителя на множители

$$(x-2)^2$$

Теперь уравнение принимает вид:

$$\frac{(x-2)^2}{x(x-2)} = 0$$

Шаг 4: Нахождение корней

Числитель равен нулю:

$$(x-2)^2 = 0$$

$$x — 2 = 0$$

$$x = 2$$

Шаг 5: Проверка ОДЗ

Знаменатель содержит $x(x-2)$, поэтому $x \neq 0$ и $x \neq 2$. Найденный корень $x = 2$ не принадлежит ОДЗ.

Ответ: корней нет.

3) Решение уравнения

$$(x-3)(x-5) = 3(x-5)$$

Шаг 1: Приведение к нулевому виду

Переносим все влево:

$$(x-3)(x-5) — 3(x-5) = 0$$

Шаг 2: Вынесение общего множителя

$$(x-5)(x-3-3) = 0$$

Упрощаем:

$$(x-5)(x-6) = 0$$

Шаг 3: Нахождение корней

$$x-5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 5$$

$$x-6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 6$$

Ответ: $x_1 = 5$, $x_2 = 6$

4) Решение уравнения

$$(x-2)(x^2+1) = 2(x^2+1)$$

Шаг 1: Приведение к нулевому виду

Переносим все влево:

$$(x-2)(x^2+1) — 2(x^2+1) = 0$$

Шаг 2: Вынесение общего множителя

$$(x^2+1)(x-2-2) = 0$$

Упрощаем:

$$(x^2+1)(x-4) = 0$$

Шаг 3: Нахождение корней

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.

$x-4 = 0 \Rightarrow x = 4$

$x^2+1 = 0$ решений нет в вещественных числах, так как $x^2+1 > 0$ для всех $x$

Ответ: $x = 4$