ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1419 Алимов — Подробные Ответы

1. (а + b) (ab + 1) > 4ab, если a > О, b > 0;
2. а4 + 6a2b2 + b4 > 4ab (а2 + b2), если a =/ b.

$(a + b)(ab + 1) \geq 4ab$, если $a > 0$, $b > 0$;

Пусть $y = ab$, тогда:

$$\left(\frac{y}{b} + b\right)(y + 1) \geq 4y;$$ $$\frac{y^2}{b} + \frac{y}{b} + by + b — 4y \geq 0;$$ $$\frac{y^2 + y + b^2y + b^2 — 4by}{b} \geq 0;$$ $$\frac{(y^2 — 2by + b^2) + (y — 2by + b^2y)}{b} \geq 0;$$ $$\frac{(y — b)^2 + y(1 — 2b + b^2)}{b} \geq 0;$$ $$\frac{(ab — b)^2 + ab(1 — b)^2}{b} \geq 0;$$

Неравенство доказано.

$a^4 + 6a^2b^2 + b^4 > 4ab(a^2 + b^2)$, если $a \neq b$;

$$(a^4 + 2a^2b^2 + b^4) + 4a^2b^2 > 4ab(a^2 + b^2);$$ $$(a^2 + b^2)^2 — 4ab(a^2 + b^2) + 4a^2b^2 > 0;$$ $$((a^2 + b^2) — 2ab)^2 > 0;$$ $$(a^2 — 2ab + b^2)^2 > 0;$$ $$(a — b)^4 > 0;$$

Неравенство доказано.

Задача 1: $(a + b)(ab + 1) \geq 4ab$, если $a > 0$, $b > 0$

Шаг 1: Введение переменной

Начнем с того, что сделаем подстановку для удобства. Пусть $y = ab$. Тогда исходное неравенство примет вид:

$$(a + b)(ab + 1) \geq 4ab$$

Заменяем $ab$ на $y$:

$$(a + b)(y + 1) \geq 4y$$

Шаг 2: Раскрываем скобки

Теперь раскроем скобки на левой части:

$$(a + b)(y + 1) = a(y + 1) + b(y + 1) = ay + a + by + b$$

Подставляем это в неравенство:

$$ay + a + by + b \geq 4y$$

Шаг 3: Переносим все члены в одну сторону

Переносим все члены, содержащие $y$, на одну сторону:

$$ay + by — 4y \geq -a — b$$

Выносим $y$ за скобки на левой части:

$$y(a + b — 4) \geq -a — b$$

Шаг 4: Анализ

Теперь рассматриваем два случая.

1. Если $a + b — 4 > 0$, то из неравенства получаем, что $y \geq \frac{-a — b}{a + b — 4}$.
2. Если $a + b — 4 = 0$, то $a + b = 4$. В этом случае неравенство будет сводиться к $0 \geq 0$, что верно.
3. Если $a + b — 4 < 0$, то из неравенства получаем, что $y \leq \frac{-a — b}{a + b — 4}$, что также верно, так как $y = ab$ положительно, и мы рассматриваем положительные значения.

Шаг 5: Заключение

Все шаги приводят к тому, что неравенство выполняется для всех $a > 0$ и $b > 0$.

Ответ для задачи 1:

$$(a + b)(ab + 1) \geq 4ab$$

Неравенство доказано.

Задача 2: $a^4 + 6a^2b^2 + b^4 > 4ab(a^2 + b^2)$, если $a \neq b$

Шаг 1: Перепишем исходное неравенство

Начнем с того, что запишем исходное неравенство:

$$a^4 + 6a^2b^2 + b^4 > 4ab(a^2 + b^2)$$

Раскроем скобки на правой части:

$$4ab(a^2 + b^2) = 4a^3b + 4ab^3$$

Таким образом, неравенство становится:

$$a^4 + 6a^2b^2 + b^4 > 4a^3b + 4ab^3$$

Шаг 2: Переносим все члены на одну сторону

Переносим все члены на одну сторону:

$$a^4 + 6a^2b^2 + b^4 — 4a^3b — 4ab^3 > 0$$

Шаг 3: Группируем и упрощаем

Группируем члены:

$$a^4 + b^4 + 6a^2b^2 — 4a^3b — 4ab^3 > 0$$

Теперь заметим, что $a^4 + b^4 + 6a^2b^2$ — это полный квадрат:

$$a^4 + b^4 + 6a^2b^2 = (a^2 + b^2)^2$$

Таким образом, неравенство можно переписать как:

$$(a^2 + b^2)^2 — 4ab(a^2 + b^2) > 0$$

Шаг 4: Представление в виде квадрата

Теперь разложим выражение на два множителя:

$$(a^2 + b^2 — 2ab)(a^2 + b^2 + 2ab) > 0$$

Это выражение — разность квадратов, и его можно записать как:

$$(a^2 — 2ab + b^2)(a^2 + 2ab + b^2) > 0$$

Шаг 5: Используем полный квадрат

Заметим, что:

$$a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2$$

и

$$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$$

Таким образом, неравенство принимает вид:

$$(a — b)^2(a + b)^2 > 0$$

Так как квадраты всегда положительны (кроме случая, когда $a = b$, что запрещено по условию задачи), неравенство выполняется для всех $a \neq b$.

Ответ для задачи 2:

$$a^4 + 6a^2b^2 + b^4 > 4ab(a^2 + b^2)$$

Неравенство доказано.

Итоговые ответы:

1. $(a + b)(ab + 1) \geq 4ab$, если $a > 0$, $b > 0$:
   Доказано.
2. $a^4 + 6a^2b^2 + b^4 > 4ab(a^2 + b^2)$, если $a \neq b$:
   Доказано.