ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1418 Алимов — Подробные Ответы

Доказать неравенство (1418—1420).

1. $ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$;
2. $\frac{a^3 + b^3}{2} > \left( \frac{a + b}{2} \right)^3$, если $a > 0$, $b > 0$, $a \neq b$

$ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$;

$2ab < a^2 + b^2$;

$a^2 — 2ab + b^2 > 0$;

$(a — b)^2 > 0$;

Неравенство доказано.

2) $\frac{a^3 + b^3}{2} > \left( \frac{a + b}{2} \right)^3$, если $a > 0$, $b > 0$, $a \neq b$;

$\frac{a^3 + b^3}{2} > \frac{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}{8}$;

$\frac{4a^3 + 4b^3 — a^3 — 3a^2b — 3ab^2 — b^3}{8} > 0$;

$3a^3 + 3b^3 — 3a^2b — 3ab^2 > 0$;

$a^3 — a^2b + b^3 — ab^2 > 0$;

$a^2 \cdot (a — b) — b^2 \cdot (a — b) > 0$;

$(a^2 — b^2)(a — b) > 0$;

$(a — b)(a + b)(a — b) > 0$;

$(a — b)^2(a + b) > 0$;

Неравенство доказано.

Задача 1: $ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$

Шаг 1: Преобразуем исходное неравенство

Начнем с того, что перемножим обе части на 2:

$$2ab \leq a^2 + b^2$$

Теперь преобразуем неравенство:

$$a^2 — 2ab + b^2 \geq 0$$

Шаг 2: Разбираем выражение $a^2 — 2ab + b^2$

Это выражение — полный квадрат, и его можно записать как:

$$a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2$$

Таким образом, мы получаем:

$$(a — b)^2 \geq 0$$

Шаг 3: Заключение

Так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, то:

$$(a — b)^2 \geq 0$$

Значит, неравенство выполняется для всех $a$ и $b$. Таким образом, неравенство $ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ доказано.

Ответ для задачи 1:

$$ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$$

Доказано.

Задача 2: $\frac{a^3 + b^3}{2} > \left( \frac{a + b}{2} \right)^3$, если $a > 0$, $b > 0$, $a \neq b$

Шаг 1: Преобразуем выражение

Мы знаем, что куб суммы $a$ и $b$ можно разложить по формуле:

$$\left( \frac{a + b}{2} \right)^3 = \frac{(a + b)^3}{8}$$

Теперь подставим это в неравенство:

$$\frac{a^3 + b^3}{2} > \frac{(a + b)^3}{8}$$

Шаг 2: Преобразуем правую часть

Распишем $(a + b)^3$:

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

Теперь подставим это в неравенство:

$$\frac{a^3 + b^3}{2} > \frac{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}{8}$$

Шаг 3: Умножим обе части на 8

Умножим обе части на 8, чтобы избавиться от дробей:

$$4(a^3 + b^3) > a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

Шаг 4: Переносим все в одну сторону

Переносим все члены на одну сторону:

$$4a^3 + 4b^3 — a^3 — 3a^2b — 3ab^2 — b^3 > 0$$

Упростим:

$$3a^3 + 3b^3 — 3a^2b — 3ab^2 > 0$$

Шаг 5: Группируем выражения

Группируем члены:

$$3(a^3 + b^3) — 3(a^2b + ab^2) > 0$$

Выносим общий множитель 3:

$$3(a^3 + b^3 — a^2b — ab^2) > 0$$

Шаг 6: Разлагаем на множители

Мы можем вынести общий множитель $(a — b)$ из выражения:

$$a^3 + b^3 — a^2b — ab^2 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)$$

Тогда неравенство примет вид:

$$3(a — b)(a^2 + ab + b^2) > 0$$

Шаг 7: Анализ знаков

Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, выражение $a^2 + ab + b^2$ всегда положительно, так как оно представляет собой сумму квадратов и произведений положительных чисел. Таким образом, неравенство зависит от знака выражения $(a — b)$.

Поскольку $a \neq b$, то $(a — b)$ не равно 0. Таким образом, неравенство выполняется, если $a > b$, то есть $a — b > 0$.

Ответ для задачи 2:

$$\frac{a^3 + b^3}{2} > \left( \frac{a + b}{2} \right)^3 \text{ при } a > b$$

Доказано.

Итоговые ответы:

1. $ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$:
   Доказано.
2. $\frac{a^3 + b^3}{2} > \left( \frac{a + b}{2} \right)^3$, если $a > 0$, $b > 0$, $a \neq b$:
   Доказано.