ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1418 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Доказать неравенство (1418—1420).

$ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ ;
$\frac{a^3 + b^3}{2} > \left( \frac{a + b}{2} \right)^3$ , если $a > 0$ , $b > 0$ , $a \neq b$

Краткий ответ:

$ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ ;

$2ab < a^2 + b^2$ ;

$a^2 — 2ab + b^2 > 0$ ;

$(a — b)^2 > 0$ ;

Неравенство доказано.

2) $\frac{a^3 + b^3}{2} > \left( \frac{a + b}{2} \right)^3$ , если $a > 0$ , $b > 0$ , $a \neq b$ ;

$\frac{a^3 + b^3}{2} > \frac{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}{8}$ ;

$\frac{4a^3 + 4b^3 — a^3 — 3a^2b — 3ab^2 — b^3}{8} > 0$ ;

$3a^3 + 3b^3 — 3a^2b — 3ab^2 > 0$ ;

$a^3 — a^2b + b^3 — ab^2 > 0$ ;

$a^2 \cdot (a — b) — b^2 \cdot (a — b) > 0$ ;

$(a^2 — b^2)(a — b) > 0$ ;

$(a — b)(a + b)(a — b) > 0$ ;

$(a — b)^2(a + b) > 0$ ;

Неравенство доказано.

Подробный ответ:

Задача 1: $ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$

Шаг 1: Преобразуем исходное неравенство

Начнем с того, что перемножим обе части на 2:

$2ab \leq a^2 + b^2$

Теперь преобразуем неравенство:

$a^2 — 2ab + b^2 \geq 0$

Шаг 2: Разбираем выражение $a^2 — 2ab + b^2$

Это выражение — полный квадрат, и его можно записать как:

$a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2$

Таким образом, мы получаем:

$(a — b)^2 \geq 0$

Шаг 3: Заключение

Так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, то:

$(a — b)^2 \geq 0$

Значит, неравенство выполняется для всех $a$ и $b$ . Таким образом, неравенство $ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ доказано.

Ответ для задачи 1:

$ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$

Доказано.

Задача 2: $\frac{a^3 + b^3}{2} > \left( \frac{a + b}{2} \right)^3$ , если $a > 0$ , $b > 0$ , $a \neq b$

Шаг 1: Преобразуем выражение

Мы знаем, что куб суммы $a$ и $b$ можно разложить по формуле:

$\left( \frac{a + b}{2} \right)^3 = \frac{(a + b)^3}{8}$

Теперь подставим это в неравенство:

$\frac{a^3 + b^3}{2} > \frac{(a + b)^3}{8}$

Шаг 2: Преобразуем правую часть

Распишем $(a + b)^3$ :

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Теперь подставим это в неравенство:

$\frac{a^3 + b^3}{2} > \frac{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}{8}$

Шаг 3: Умножим обе части на 8

Умножим обе части на 8, чтобы избавиться от дробей:

$4(a^3 + b^3) > a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Шаг 4: Переносим все в одну сторону

Переносим все члены на одну сторону:

$4a^3 + 4b^3 — a^3 — 3a^2b — 3ab^2 — b^3 > 0$

Упростим:

$3a^3 + 3b^3 — 3a^2b — 3ab^2 > 0$

Шаг 5: Группируем выражения

Группируем члены:

$3(a^3 + b^3) — 3(a^2b + ab^2) > 0$

Выносим общий множитель 3:

$3(a^3 + b^3 — a^2b — ab^2) > 0$

Шаг 6: Разлагаем на множители

Мы можем вынести общий множитель $(a — b)$ из выражения:

$a^3 + b^3 — a^2b — ab^2 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)$

Тогда неравенство примет вид:

$3(a — b)(a^2 + ab + b^2) > 0$

Шаг 7: Анализ знаков

Поскольку $a > 0$ и $b > 0$ , выражение $a^2 + ab + b^2$ всегда положительно, так как оно представляет собой сумму квадратов и произведений положительных чисел. Таким образом, неравенство зависит от знака выражения $(a — b)$ .

Поскольку $a \neq b$ , то $(a — b)$ не равно 0. Таким образом, неравенство выполняется, если $a > b$ , то есть $a — b > 0$ .

Ответ для задачи 2:

$\frac{a^3 + b^3}{2} > \left( \frac{a + b}{2} \right)^3 \text{ при } a > b$

Доказано.

Итоговые ответы:

$ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ :
Доказано.
$\frac{a^3 + b^3}{2} > \left( \frac{a + b}{2} \right)^3$ , если $a > 0$ , $b > 0$ , $a \neq b$ :
Доказано.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Задачи для внеклассной работы