ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1416 Алимов — Подробные Ответы

С помощью графика решить неравенство:

1. sin х < 1/4;
2. sin х > -1/4
3. tg х — 3 < =0;
4. cos х > 1/3.

$\sin x < \frac{1}{4}$;

$x = \arcsin \frac{1}{4} + \pi n$;

Графики функций $y = \sin x$ и $y = \frac{1}{4}$:

Ответ: $-\pi — \arcsin \frac{1}{4} + 2\pi n < x < \arcsin \frac{1}{4} + 2\pi n$.

$\sin x > -\frac{1}{4}$;

$x = -\arcsin \frac{1}{4} + \pi n$;

Графики функций $y = \sin x$ и $y = -\frac{1}{4}$:

Ответ: $-\arcsin \frac{1}{4} + 2\pi n < x < \pi + \arcsin \frac{1}{4} + 2\pi n$.

$\operatorname{tg} x — 3 \leq 0$;

$\operatorname{tg} x \leq 3$;

$x = \operatorname{arctg} 3 + \pi n$;

Графики функций $y = \operatorname{tg} x$ и $y = 3$:

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq \operatorname{arctg} 3 + \pi n$.

$\cos x \geq \frac{1}{3}$;

$x = \pm \operatorname{arccos} \frac{1}{3} + 2\pi n$;

Графики функций $y = \cos x$ и $y = \frac{1}{3}$:

Ответ: $-\operatorname{arccos} \frac{1}{3} + 2\pi n < x < \operatorname{arccos} \frac{1}{3} + 2\pi n$.

Задача 1: $\sin x < \frac{1}{4}$

Шаг 1: Разбираем неравенство $\sin x < \frac{1}{4}$

Сначала обратим внимание на то, что $\sin x$ — периодическая функция с периодом $2\pi$, а ее значения лежат в интервале $[-1, 1]$.

Нам нужно найти $x$, такие что:

$$\sin x < \frac{1}{4}$$

Для этого нужно найти, где график функции $y = \sin x$ ниже горизонтальной линии $y = \frac{1}{4}$.

Шаг 2: Находим соответствующие углы

Для того чтобы решить это неравенство, нужно найти углы, для которых $\sin x = \frac{1}{4}$.

Эти углы можно найти с помощью арксинуса:

$$x = \arcsin \frac{1}{4}$$

При этом функция $\sin x$ принимает значение $\frac{1}{4}$ в двух местах на каждом интервале длиной $2\pi$: в первом и втором квадрантах.

Таким образом, неравенство $\sin x < \frac{1}{4}$ выполняется между этими двумя углами.

Шаг 3: Применяем периодичность функции

Поскольку $\sin x$ периодична с периодом $2\pi$, то решение будет иметь вид:

$$-\pi — \arcsin \frac{1}{4} + 2\pi n < x < \arcsin \frac{1}{4} + 2\pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ:

$$-\pi — \arcsin \frac{1}{4} + 2\pi n < x < \arcsin \frac{1}{4} + 2\pi n$$

Задача 2: $\sin x > -\frac{1}{4}$

Шаг 1: Разбираем неравенство $\sin x > -\frac{1}{4}$

Теперь рассматриваем неравенство $\sin x > -\frac{1}{4}$. Суть задачи заключается в том, чтобы найти такие $x$, для которых график функции $y = \sin x$ выше горизонтальной линии $y = -\frac{1}{4}$.

Шаг 2: Находим соответствующие углы

Аналогично предыдущему шагу, для нахождения углов, где $\sin x = -\frac{1}{4}$, применим арксинус:

$$x = -\arcsin \frac{1}{4}$$

Это значение угла также будет иметь два решения на интервале длиной $2\pi$, и неравенство $\sin x > -\frac{1}{4}$ будет выполняться между этими двумя углами.

Шаг 3: Применяем периодичность функции

Решение будет иметь вид:

$$-\arcsin \frac{1}{4} + 2\pi n < x < \pi + \arcsin \frac{1}{4} + 2\pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ:

$$-\arcsin \frac{1}{4} + 2\pi n < x < \pi + \arcsin \frac{1}{4} + 2\pi n$$

Задача 3: $\operatorname{tg} x — 3 \leq 0$

Шаг 1: Преобразуем неравенство

Рассмотрим неравенство $\operatorname{tg} x — 3 \leq 0$, которое можно переписать как:

$$\operatorname{tg} x \leq 3$$

Задача состоит в том, чтобы найти такие значения $x$, для которых тангенс не превышает 3.

Шаг 2: Находим соответствующие углы

Для того чтобы найти, где $\operatorname{tg} x = 3$, применим арктангенс:

$$x = \operatorname{arctg} 3$$

Тангенс — периодическая функция с периодом $\pi$, поэтому решение будет повторяться через $\pi$.

Шаг 3: Применяем периодичность функции

Решение неравенства $\operatorname{tg} x \leq 3$ будет в интервале от $-\frac{\pi}{2}$ до $\operatorname{arctg} 3$ на каждом периоде $\pi$. Поэтому решение будет:

$$\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq \operatorname{arctg} 3 + \pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ:

$$\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq \operatorname{arctg} 3 + \pi n$$

Задача 4: $\cos x \geq \frac{1}{3}$

Шаг 1: Разбираем неравенство $\cos x \geq \frac{1}{3}$

Неравенство $\cos x \geq \frac{1}{3}$ означает, что нам нужно найти такие значения $x$, для которых график функции $y = \cos x$ выше или равен горизонтальной линии $y = \frac{1}{3}$.

Шаг 2: Находим соответствующие углы

Для того чтобы найти, где $\cos x = \frac{1}{3}$, применим арккосинус:

$$x = \pm \operatorname{arccos} \frac{1}{3}$$

Это решение дает два угла: один в первом квадранте и один во втором квадранте. Мы знаем, что $\cos x$ — четная функция, и на каждом интервале длиной $2\pi$ решение будет повторяться.

Шаг 3: Применяем периодичность функции

Решение будет таким:

$$-\operatorname{arccos} \frac{1}{3} + 2\pi n < x < \operatorname{arccos} \frac{1}{3} + 2\pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ:

$$-\operatorname{arccos} \frac{1}{3} + 2\pi n < x < \operatorname{arccos} \frac{1}{3} + 2\pi n$$