ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1415 Алимов — Подробные Ответы

1. сos(-3x) > =корень 3/2;
2. cos(2x-пи/3) < -1/2.

$\cos(-3x) \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$;

$$-\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n \leq -3x \leq \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq -3x \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3};$$

$\cos\left(2x — \frac{\pi}{3}\right) < -\frac{1}{2}$;

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n < 2x — \frac{\pi}{3} < 2\pi — \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n;$$ $$\pi — \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n < 2x — \frac{\pi}{3} < 2\pi — \left(\pi — \arccos \frac{1}{2}\right) + 2\pi n;$$ $$\pi — \frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x — \frac{\pi}{3} < 2\pi — \pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < 2x — \frac{\pi}{3} < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$\pi + 2\pi n < 2x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{5\pi}{6} + \pi n;$$

Задача 1: $\cos(-3x) \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1: Учитываем, что косинус чётная функция

Поскольку косинус — чётная функция, то:

$$\cos(-3x) = \cos(3x)$$

Таким образом, неравенство превращается в:

$$\cos(3x) \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 2: Используем стандартные значения косинуса

Мы знаем, что:

$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Следовательно, мы можем переписать неравенство как:

$$\cos(3x) \geq \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$$

Шаг 3: Разбираем решение неравенства

Для того чтобы решить неравенство $\cos(3x) \geq \cos \frac{\pi}{6}$, нужно учитывать, что косинус — убывающая функция на интервале $[0, \pi]$. Таким образом, неравенство будет выполняться, когда $3x$ лежит в интервале от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$, с учётом периодичности косинуса.

То есть:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq 3x \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 4: Разделим на 3

Чтобы выразить $x$, делим каждую часть неравенства на 3:

$$-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Задача 2: $\cos\left(2x — \frac{\pi}{3}\right) < -\frac{1}{2}$

Шаг 1: Используем известные значения косинуса

Известно, что:

$$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$$

Следовательно, неравенство можно переписать как:

$$\cos\left(2x — \frac{\pi}{3}\right) < \cos \frac{2\pi}{3}$$

Шаг 2: Разбираем решение неравенства

Мы знаем, что косинус — убывающая функция на интервале $[0, \pi]$, поэтому неравенство $\cos(\theta) < \cos(\phi)$ выполняется, когда $\theta$ лежит в интервале от $\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{4\pi}{3}$ с учётом периодичности косинуса.

Таким образом, неравенство можно записать как:

$$\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < 2x — \frac{\pi}{3} < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 3: Изолируем $2x$

Прибавим $\frac{\pi}{3}$ ко всем частям неравенства:

$$\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Упростим выражения:

$$\pi + 2\pi n < 2x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 4: Разделим на 2

Теперь разделим неравенство на 2:

$$\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{5\pi}{6} + \pi n$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{5\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Итоговое решение:

1) Для неравенства $\cos(-3x) \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

2) Для неравенства $\cos\left(2x — \frac{\pi}{3}\right) < -\frac{1}{2}$:

$$\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{5\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$