ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1413 Алимов — Подробные Ответы

1. (x2-4)log0,5x > 0;
2. (3x-1)log2(x) > 0.

1) $(x^2 — 4) \cdot \log_{0.5} x > 0$

Логарифм равен нулю при:

$$\log_{0.5} x = 0$$ $$\log_{0.5} x = \log_{0.5}(0.5)^0$$ $$x = 1$$

Исходное неравенство:

$$(x + 2) \cdot \log_{0.5} x \cdot (x — 2) > 0$$

Решение:

$$x < -2 \quad \text{и} \quad 1 < x < 2$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0$$

Ответ:

$$1 < x < 2$$

2) $(3x — 1) \cdot \log_2 x > 0$

Логарифм равен нулю при:

$$\log_2 x = 0$$ $$\log_2 x = \log_2 2^0$$ $$x = 1$$

Исходное неравенство:

$$(3x — 1) \cdot \log_2 x > 0$$

Решение:

$$x < \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad x > 1$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0$$

Ответ:

$$0 < x < \frac{1}{3}; \quad x > 1$$

1) $(x^2 — 4) \cdot \log_{0.5} x > 0$

Шаг 1: Область допустимых значений (ОДЗ)

Логарифм определён только при положительном аргументе:

$$x > 0$$

Шаг 2: Преобразуем выражение

Разложим $x^2 — 4$ на множители:

$$(x^2 — 4) = (x — 2)(x + 2)$$

Теперь перепишем исходное неравенство:

$$(x + 2) \cdot \log_{0.5} x \cdot (x — 2) > 0$$

Это произведение трех множителей, которое должно быть положительным.

Шаг 3: Найдём ключевые точки

Нули множителей:

• $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
• $x — 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
• $\log_{0.5} x = 0 \Rightarrow x = 1$, потому что

  $$\log_{0.5} x = 0 \Leftrightarrow x = (0.5)^0 = 1$$

Шаг 4: Разбиваем числовую прямую

Получили точки: $-2$, $1$, $2$

С учётом ОДЗ: x > 0, то точка $-2$ вне допустимой области, и интервал $x < 0$ нас не интересует.

Работаем с интервалами:

• $0 < x < 1$
• $1 < x < 2$
• $x > 2$

Проверим знак на каждом из них.

Шаг 5: Знаковый анализ

1) Интервал $0 < x < 1$

Выбираем точку $x = 0.5$:

• $x + 2 = 0.5 + 2 = 2.5 > 0$
• $x — 2 = 0.5 — 2 = -1.5 < 0$
• $\log_{0.5} 0.5 = 1 > 0$

Произведение: $+ \cdot + \cdot — = —$

→ Не подходит

2) Интервал $1 < x < 2$

Выбираем $x = 1.5$:

• $x + 2 = 3.5 > 0$
• $x — 2 = -0.5 < 0$
• $\log_{0.5} 1.5 < 0$, так как $1.5 > 1$ и $\log_{a} x < 0$, если $x > 1$ и $a < 1$

Произведение: $+ \cdot — \cdot — = +$

→ Подходит

3) Интервал $x > 2$

Выбираем $x = 3$:

• $x + 2 = 5 > 0$
• $x — 2 = 1 > 0$
• $\log_{0.5} 3 < 0$, потому что $3 > 1$, а основание < 1

Произведение: $+ \cdot + \cdot — = —$

→ Не подходит

Шаг 6: Учитываем знаки и ОДЗ

• Только интервал $1 < x < 2$ даёт положительное значение выражения.
• Точки $x = 1$ и $x = 2$ не включаются, так как логарифм обнуляется или множитель обнуляется (произведение = 0).

Ответ к задаче 1:

$$\boxed{1 < x < 2}$$

2) $(3x — 1) \cdot \log_2 x > 0$

Шаг 1: ОДЗ

$$\log_2 x \ \text{определён только при} \ x > 0$$

Шаг 2: Найдём нули множителей

• $3x — 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$
• $\log_2 x = 0 \Rightarrow x = 1$, потому что:

  $$\log_2 x = 0 \Leftrightarrow x = 2^0 = 1$$

Шаг 3: Разбиваем числовую прямую

Итак, важные точки: $x = \frac{1}{3}$, $x = 1$

Разбиваем ОДЗ $x > 0$ на интервалы:

• $0 < x < \frac{1}{3}$
• $\frac{1}{3} < x < 1$
• $x > 1$

Шаг 4: Знаковый анализ

1) Интервал $0 < x < \frac{1}{3}$

Берём $x = 0.2$:

• $3x — 1 = 0.6 — 1 = -0.4 < 0$
• $\log_2 0.2 < 0$ (так как $x < 1$, логарифм < 0)

Произведение: $(-)\cdot(-) = +$

→ Подходит

2) Интервал $\frac{1}{3} < x < 1$

Берём $x = 0.5$:

• $3x — 1 = 1.5 — 1 = 0.5 > 0$
• $\log_2 0.5 = -1 < 0$

Произведение: $+\cdot- = —$

→ Не подходит

3) Интервал $x > 1$

Берём $x = 2$:

• $3x — 1 = 6 — 1 = 5 > 0$
• $\log_2 2 = 1 > 0$

Произведение: $+ \cdot + = +$

→ Подходит

Шаг 5: Учитываем знаки и ОДЗ

Решение:

• $0 < x < \frac{1}{3}$
• $x > 1$

Точки $x = \frac{1}{3}$ и $x = 1$ не включаются (при них выражение обнуляется).

Ответ к задаче 2:

$$\boxed{0 < x < \frac{1}{3}; \quad x > 1}$$