ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1409 Алимов — Подробные Ответы

1. корень lgx < 1/2;
2. log1/2 < log1/2(2x+6)+2.

1) $\sqrt{\lg x} < \frac{1}{2}$;

$$\lg x < \frac{1}{4};$$ $$\lg x < \lg 10^{\frac{1}{4}};$$ $$x < 10^{\frac{1}{4}};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\lg x \geq 0;$$ $$\lg x \geq \lg 10^{0};$$ $$x > 10^{0};$$ $$x > 1;$$

Ответ: $1 < x < 10^{\frac{1}{4}}$.

2) $\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}} (2x + 6) + 2$;

$$\log_{\frac{1}{2}} x — \log_{\frac{1}{2}} (2x + 6) < 2;$$ $$\log_{\frac{1}{2}} \frac{x}{2x + 6} < \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^2;$$ $$\frac{x}{2x + 6} > \frac{1}{4} \cdot 4(2x + 6)^2;$$ $$4x \cdot (2x + 6) > (2x + 6)^2;$$ $$8x^2 + 24x > 4x^2 + 24x + 36;$$ $$4x^2 > 36;$$ $$x^2 > 9;$$ $$x < -3 \text{ и } x > 3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0;$$ $$2x + 6 > 0, \text{ отсюда } x > -3;$$

Ответ: $x > 3$.

1) $\sqrt{\lg x} < \frac{1}{2}$

Шаг 1: Область определения

Поскольку в выражении участвует квадратный корень $\sqrt{\lg x}$, выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$\lg x \geq 0$$

Решим это:

$$\lg x \geq \lg 1 \quad \Rightarrow \quad x \geq 10^0 = 1$$

Важно: $\lg x$ определён только при $x > 0$, это общее условие для логарифма. Таким образом, область определения:

$$x > 0 \text{ и } \lg x \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$$

Шаг 2: Решение неравенства

$$\sqrt{\lg x} < \frac{1}{2}$$

Возведём обе части в квадрат (так как обе стороны ≥ 0):

$$\left(\sqrt{\lg x}\right)^2 < \left(\frac{1}{2}\right)^2 \Rightarrow \lg x < \frac{1}{4}$$

Теперь избавимся от логарифма, применяя определение десятичного логарифма:

$$\lg x < \lg 10^{1/4} \Rightarrow x < 10^{1/4}$$

Шаг 3: Итоговое решение

У нас получилось два условия:

1. $x \geq 1$ (область допустимых значений)
2. $x < 10^{1/4}$

Ответ:

$$\boxed{1 < x < 10^{\frac{1}{4}}}$$

2) $\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}} (2x + 6) + 2$

Шаг 1: Область определения

Учитываем, что логарифм определён только для положительных аргументов, то есть:

• $x > 0$
• $2x + 6 > 0$

Второе неравенство:

$$2x + 6 > 0 \Rightarrow x > -3$$

Теперь находим пересечение условий:

$$x > 0 \text{ и } x > -3 \Rightarrow x > 0$$

Шаг 2: Перенос логарифмов

$$\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}} (2x + 6) + 2$$

Переносим всё в одну часть:

$$\log_{\frac{1}{2}} x — \log_{\frac{1}{2}} (2x + 6) < 2$$

Используем свойство логарифма:

$$\log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{x}{2x + 6} \right) < 2$$

Теперь выразим правую часть как логарифм той же базы:

$$2 = \log_{\frac{1}{2}} \left( \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} \right) = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{4} \right)^{-1} = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{4} \right)^{-1} = \log_{\frac{1}{2}} 4$$

Потому что:

$$\log_{\frac{1}{2}} 4 = 2 \quad \text{(так как } \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4})$$

Следовательно:

$$\log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{x}{2x + 6} \right) < \log_{\frac{1}{2}} 4$$

Шаг 3: Учитываем, что основание логарифма $\frac{1}{2} < 1$

Логарифмическая функция убывает, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$$\frac{x}{2x + 6} > 4$$

Шаг 4: Решим неравенство

$$\frac{x}{2x + 6} > 4$$

Переносим всё в одну сторону:

$$\frac{x}{2x + 6} — 4 > 0$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{x — 4(2x + 6)}{2x + 6} > 0 \Rightarrow \frac{x — 8x — 24}{2x + 6} > 0 \Rightarrow \frac{-7x — 24}{2x + 6} > 0$$

Меняем знак числителя и знак неравенства (умножаем на $-1$):

$$\frac{7x + 24}{2x + 6} < 0$$

Шаг 5: Решение рационального неравенства

Найдём нули числителя и знаменателя:

• $7x + 24 = 0 \Rightarrow x = -\frac{24}{7}$
• $2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3$

Разметим числовую прямую: точки $-\frac{24}{7} \approx -3.43$ и $-3$

Разбиваем на интервалы:

1. $x < -\frac{24}{7}$
2. $-\frac{24}{7} < x < -3$
3. $x > -3$

Исследуем знак выражения $\frac{7x + 24}{2x + 6}$ на каждом интервале:

• На $x < -\frac{24}{7}$: оба выражения < 0 → дробь > 0
• На $-\frac{24}{7} < x < -3$: числитель > 0, знаменатель < 0 → дробь < 0
• На $x > -3$: оба > 0 → дробь > 0

Значит, неравенство выполняется при:

$$x \in \left( -\frac{24}{7}, -3 \right)$$

Шаг 6: Учитываем область определения

Ранее нашли, что область определения: $x > 0$

Пересекаем это с решением $\left( -\frac{24}{7}, -3 \right)$:

Пустое множество.

Шаг 7: Повторим расчёт ошибки

Перепроверим преобразование:

$$\frac{x}{2x + 6} > 4 \Rightarrow x > 4(2x + 6) \Rightarrow x > 8x + 24 \Rightarrow -7x > 24 \Rightarrow x < -\frac{24}{7}$$

Теперь проверим ОДЗ:

• $x > 0$
• Но $x < -\frac{24}{7} < 0$ — несовместимо

Вывод: решения вне области определения — они не подходят. Поэтому ищем другие корни.

Но давайте ещё раз:

$$\log_{\frac{1}{2}} \frac{x}{2x + 6} < 2 \Rightarrow \frac{x}{2x + 6} > \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$$

Теперь:

$$\frac{x}{2x + 6} > \frac{1}{4} \Rightarrow 4x > 2x + 6 \Rightarrow 2x > 6 \Rightarrow x > 3$$

Шаг 8: Проверим область определения

• $x > 0$
• $2x + 6 > 0 \Rightarrow x > -3$

И решение: $x > 3$

Соответствует ОДЗ: да.

Ответ: $\boxed{x > 3}$