ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1408 Алимов — Подробные Ответы

1. log6 (2 — x) < log6 (2x + 5);
2. log1/3 (x2 — 2) > =-1.

1)
$\log_{6}(2-x) < \log_{6}(2x+5)$;

$2 — x < 2x + 5$;

$-3x < 3$;

$x > -1$;

Выражение имеет смысл при:

$2 — x > 0$, отсюда $x < 2$;

$2x + 5 > 0$, отсюда $x > -2.5$;

Ответ: $-1 < x < 2$.

2)
$\log_{\frac{1}{3}}(x^2 — 2) \geq -1$;

$\log_{\frac{1}{3}}(x^2 — 2) \geq \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}$;

$x^2 — 2 \leq 3$;

$x^2 \leq 5$;

$-\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}$;

Выражение имеет смысл при:

$x^2 — 2 > 0$;

$x^2 > 2$;

$x < -\sqrt{2}$ и $x > \sqrt{2}$;

Ответ: $-\sqrt{5} \leq x < -\sqrt{2}$; $\sqrt{2} < x \leq \sqrt{5}$.

Задача 1:

$$\log_{6}(2 — x) < \log_{6}(2x + 5)$$

Шаг 1. Область определения логарифмов

Логарифм определён только при положительном аргументе. Значит:

1. $2 — x > 0 \quad \Rightarrow \quad x < 2$
2. $2x + 5 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -2.5$

Следовательно, ОДЗ:

$$x \in (-2.5,\ 2) \tag{ODZ}$$

Шаг 2. Убираем логарифмы

Поскольку основание логарифма $6 > 1$, логарифмическая функция возрастает. Это значит:

$$\log_{6}(A) < \log_{6}(B) \quad \iff \quad A < B, \text{ при } A > 0,\ B > 0$$

⇒ при соблюдении ОДЗ:

$$2 — x < 2x + 5 \tag{1}$$

Шаг 3. Решим неравенство (1)

Переносим всё в одну сторону:

$$2 — x — 2x — 5 < 0 \Rightarrow -3x — 3 < 0 \Rightarrow -3x < 3 \Rightarrow x > -1 \tag{2}$$

Шаг 4. Итоговое пересечение с ОДЗ

• Из (2): $x > -1$
• Из (ODZ): $x \in (-2.5, 2)$

Находим пересечение:

$$x \in (-1,\ 2)$$

Ответ к задаче 1:

$$\boxed{-1 < x < 2}$$

Задача 2:

$$\log_{\frac{1}{3}}(x^2 — 2) \geq -1$$

Шаг 1. Область определения логарифма

Аргумент логарифма должен быть положительным:

$$x^2 — 2 > 0 \Rightarrow x^2 > 2 \Rightarrow x < -\sqrt{2} \quad \text{или} \quad x > \sqrt{2} \tag{ODZ}$$

Шаг 2. Преобразуем правую часть

$$-1 = \log_{\frac{1}{3}} \left( \left( \frac{1}{3} \right)^1 \right) = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right) = \log_{\frac{1}{3}} \left( \left( \frac{1}{3} \right)^{-1} \right) \Rightarrow \log_{\frac{1}{3}}(x^2 — 2) \geq \log_{\frac{1}{3}} \left( \left( \frac{1}{3} \right)^{-1} \right)$$

Шаг 3. Основание логарифма меньше 1

Поскольку $\frac{1}{3} < 1$, логарифмическая функция убывает, то:

$$\log_{\frac{1}{3}}(x^2 — 2) \geq \log_{\frac{1}{3}}(3) \quad \Longrightarrow \quad x^2 — 2 \leq 3 \tag{1}$$

Шаг 4. Решим неравенство (1)

$$x^2 — 2 \leq 3 \Rightarrow x^2 \leq 5 \tag{2}$$

Шаг 5. Объединение с ОДЗ

Из (2):

$$x^2 \leq 5 \Rightarrow -\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}$$

Из ОДЗ:

$$x < -\sqrt{2} \quad \text{или} \quad x > \sqrt{2}$$

Пересекаем:

$$[-\sqrt{5}, \sqrt{5}] \cap (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty) = [-\sqrt{5}, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \sqrt{5}]$$

Ответ к задаче 2:

$$\boxed{-\sqrt{5} \leq x < -\sqrt{2} \quad\text{и}\quad \sqrt{2} < x \leq \sqrt{5}}$$