ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1407 Алимов — Подробные Ответы

1. $3^{\log_2 \frac{x-1}{x+2}} < \frac{1}{9}$;
2. $5^{\log_2 (x^2 — 4x + 3.5)} > \frac{1}{5}$

Задача 1:

$3^{\log_2 \frac{x-1}{x+2}} < \frac{1}{9}$;

$3^{\log_2 \frac{x-1}{x+2}} < 3^{-2}$;

$\log_2 \frac{x-1}{x+2} < -2$;

$\log_2 \frac{x-1}{x+2} < \log_2 2^{-2}$;

$\frac{x-1}{x+2} < \frac{1}{4} \quad | \cdot 4(x+2)^2$;

$4(x-1)(x+2) < (x+2)^2$;

$4(x^2 + 2x — x — 2) < x^2 + 4x + 4$;

$4x^2 + 4x — 8 < x^2 + 4x + 4$;

$3x^2 < 12$;

$x^2 < 4$;

$-2 < x < 2$;

Выражение имеет смысл при:
$\frac{x-1}{x+2} > 0$
$(x+2)(x-1) > 0$
$x < -2 \text{ и } x > 1$

Ответ: $1 < x < 2$.

Задача 2:

$5^{\log_2 (x^2 — 4x + 3.5)} > \frac{1}{5}$;

$5^{\log_2 (x^2 — 4x + 3.5)} > 5^{-1}$;

$\log_2 (x^2 — 4x + 3.5) > -1$;

$\log_2 (x^2 — 4x + 3.5) > \log_2 2^{-1}$;

$x^2 — 4x + 3.5 > 0.5$;

$x^2 — 4x + 3 > 0$;

$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$, тогда:
$x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \text{ и } x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$;

$(x-1)(x-3) > 0$;

$x < 1 \text{ и } x > 3$;

Ответ: $x < 1$; $x > 3$.

Задача 1 

Шаг 0. Область определения

Логарифм $\log_{2}\frac{x-1}{x+2}$ существует ⇔ его аргумент положителен:

$$\frac{x-1}{x+2}>0,\qquad x\ne-2.$$

Знаменатель и числитель меняют знак в точках $x=-2$ и $x=1$.
По правилу «одинаковые знаки — частное положительно» получаем две области:

$$x<-2 \quad\text{или}\quad x>1. \tag{ODZ}$$

Шаг 1. Переход от показательного неравенства к логарифмическому

$$3^{\log_{2}\frac{x-1}{x+2}}<\frac19.$$

Поскольку основание $3>1$, функция $3^{t}$ возрастает ⇒
неравенство эквивалентно неравенству показателей:

$$\log_{2}\frac{x-1}{x+2}<-2, \tag{1}$$

так как $\frac19=3^{-2}$.

Шаг 2. Переход к рациональному неравенству

Из свойства монотонности $\log_{2}t$ ($t>0$):

$$\log_{2}\frac{x-1}{x+2}<\log_{2}2^{-2} \;\Longrightarrow\; \frac{x-1}{x+2}<2^{-2}=\frac14. \tag{2}$$

Шаг 3. Приведение к стандартному виду

Переносим всё влево и приводим к общей дроби:

$$\frac{x-1}{x+2}-\frac14<0 \;\Longrightarrow\; \frac{4(x-1)-(x+2)}{4(x+2)}<0.$$

Вычисляем числитель:

$$4(x-1)-(x+2)=4x-4-x-2=3x-6=3(x-2).$$

Неравенство принимает окончательный вид

$$\frac{3(x-2)}{4(x+2)}<0. \tag{3}$$

Коэффициент $\tfrac34>0$ на знак не влияет, поэтому остаётся

$$\frac{x-2}{x+2}<0. \tag{4}$$

Шаг 4. Точечный анализ знаков

Неравенство $(4)$ требует «минус»:

$$-2<x<2,\quad x\ne-2.$$

Шаг 5. Учёт области определения

Пересекаем найденный интервал с (ODZ):

• Область знака «минус»: $(-2,2)$.
• (ODZ): $x<-2\;\cup\;x>1$.

Пересечение: $1<x<2$.

Итог для задачи 1

$$\boxed{\,1<x<2\,}$$

Задача 2 

Шаг 0. Область определения

$$\log_{2}(x^{2}-4x+3.5)\quad\text{существует} \Longrightarrow x^{2}-4x+3.5>0. \tag{ODZ}$$

Эта квадратичная функция всегда положительна (минимум $>0$; см. ниже), поэтому (ODZ) не добавит новых ограничений после решения.

Шаг 1. Переход от показательного неравенства к логарифмическому

$$5^{\log_{2}(x^{2}-4x+3.5)}>\frac15.$$

Основание $5>1$ ⇒ функция $5^{t}$ возрастает ⇒

$$\log_{2}(x^{2}-4x+3.5)>-1. \tag{1}$$

Шаг 2. Замена правой части

$$-1=\log_{2}2^{-1}\quad\Longrightarrow\quad \log_{2}(x^{2}-4x+3.5)>\log_{2}2^{-1}.$$

То же основание ⇒ аргументы:

$$x^{2}-4x+3.5>2^{-1}=0.5. \tag{2}$$

Шаг 3. Упрощение неравенства

$$x^{2}-4x+3.5-0.5>0 \;\Longrightarrow\; x^{2}-4x+3>0. \tag{3}$$

Шаг 4. Решение квадратичного неравенства

$$f(x)=x^{2}-4x+3,\quad a=1>0 \ (\text{ветви вверх}).$$

Дискриминант:

$$D=(-4)^{2}-4\cdot1\cdot3=16-12=4.$$

Корни:

$$x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{4}}{2} =\frac{4\pm2}{2} \;\Longrightarrow\;x_{1}=1,\;x_{2}=3.$$

Поскольку $a>0$, парабола выше оси $Ox$ вне интервала $[1,3]$:

$$x<1\quad\text{или}\quad x>3. \tag{4}$$

Шаг 5. Проверка (ODZ)

Аргумент логарифма в исходной задаче:

$$g(x)=x^{2}-4x+3.5=f(x)+0.5.$$

У параболы $g(x)$ минимальное значение $>0$ (точно $0.5$ в вершине).
Следовательно, вся совокупность (4) уже лежит в области определения, дополнительного пересечения не требуется.

Итог для задачи 2

$$\boxed{\,x<1\quad\text{или}\quad x>3\,}$$