ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1400 Алимов — Подробные Ответы

Решить неравенство (1400—1415).

1. |2x-3| < x;
2. |4-x| > х;
3. |х2 — 7х + 12| < = 6;
4. |х2 — 3х — 4| > 6;
5. |2х2 — х — 1| > = 5;
6. |3х2-х-4| < 2.

$|2x — 3| < x$

Число под знаком модуля:
$2x — 3 \geq 0;$
$2x \geq 3;$
$x \geq 1,5;$

Если $x \geq 1,5$, тогда:
$2x — 3 < x;$
$x < 3;$

Если $x < 1,5$, тогда:
$-(2x — 3) < x;$
$-2x + 3 < x;$
$-3x < -3;$
$x > 1;$

Ответ: $1 < x < 3$.

$|4 — x| > x$

Число под знаком модуля:
$4 — x \geq 0;$
$x \leq 4;$

Если $x \leq 4$, тогда:
$4 — x > x;$
$2x < 4;$
$x < 2;$

Если $x > 4$, тогда:
$-(4 — x) > x;$
$-4 + x > x;$
$0x < -4 \quad \text{— корней нет};$

Ответ: $x < 2$.

$|x^2 — 7x + 12| \leq 6$

Число под знаком модуля:
$x^2 — 7x + 12 \geq 0;$
$D = 7^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1, \text{тогда:}$
$x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4;$
$(x — 3)(x — 4) \geq 0;$
$x \leq 3 \quad \text{и} \quad x \geq 4;$

Если $x \leq 3$ и $x \geq 4$, тогда:
$x^2 — 7x + 12 \leq 6;$
$x^2 — 7x + 6 \leq 0;$
$D = 7^2 — 4 \cdot 6 = 49 — 24 = 25, \text{тогда:}$
$x_1 = \frac{7 — 5}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{7 + 5}{2} = 6;$
$(x — 1)(x — 6) \leq 0;$
$1 \leq x \leq 6;$

Если $3 < x < 4$, тогда:
$-(x^2 — 7x + 12) \leq 6;$
$-x^2 + 7x — 12 — 6 \leq 0;$
$x^2 — 7x + 18 \geq 0 \quad \text{— при любом } x;$
$D = 7^2 — 4 \cdot 18 = 49 — 72 = -23 < 0;$

Ответ: $1 \leq x \leq 6$.

$|x^2 — 3x — 4| > 6$

Число под знаком модуля:
$x^2 — 3x — 4 \geq 0;$
$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \text{тогда:}$
$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;$
$(x + 1)(x — 4) \geq 0;$
$x \leq -1 \quad \text{и} \quad x \geq 4;$

Если $x \leq -1$ и $x \geq 4$, тогда:
$x^2 — 3x — 4 > 6;$
$x^2 — 3x — 10 > 0;$
$D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49, \text{тогда:}$
$x_1 = \frac{3 — 7}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5;$
$(x + 2)(x — 5) > 0;$
$x < -2 \quad \text{и} \quad x > 5;$

Если $-1 < x < 4$, тогда:
$-(x^2 — 3x — 4) > 6;$
$-x^2 + 3x + 4 — 6 > 0;$
$x^2 — 3x + 2 < 0;$
$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \text{тогда:}$
$x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;$
$(x — 1)(x — 2) < 0;$
$1 < x < 2;$

Ответ: $x < -2; \, 1 < x < 2; \, x > 5$.

$|2x^2 — x — 1| \geq 5$

Число под знаком модуля:
$2x^2 — x — 1 \geq 0;$
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{тогда:}$
$x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = -0,5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = 1;$
$(x + 0,5)(x — 1) \geq 0;$
$x \leq -0,5 \quad \text{и} \quad x \geq 1;$

Если $x \leq -0,5$ и $x \geq 1$, тогда:
$2x^2 — x — 1 \geq 5;$
$2x^2 — x — 6 \geq 0;$
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 6 = 1 + 48 = 49, \text{тогда:}$
$x_1 = \frac{1 — 7}{2 \cdot 2} = -1,5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 2} = 2;$
$(x + 1,5)(x — 2) \geq 0;$
$x \leq -1,5 \quad \text{и} \quad x \geq 2;$

Если $-0,5 < x < 1$, тогда:
$-(2x^2 — x — 1) \geq 5;$
$-2x^2 + x + 1 — 5 \geq 0;$
$2x^2 — x + 4 \leq 0 \quad \text{— корней нет};$
$D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot 4 = 1 — 32 = -31 < 0;$

Ответ: $x \leq -1,5; \, x \geq 2$.

$|3x^2 — x — 4| \leq 2$

Число под знаком модуля:
$3x^2 — x — 4 \geq 0;$
$D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 4 = 1 + 48 = 49, \text{тогда:}$
$x_1 = \frac{1 — 7}{2 \cdot 3} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{4}{3};$
$(x + 1)\left(x — \frac{4}{3}\right) \geq 0;$
$x \leq -1 \quad \text{и} \quad x \geq \frac{4}{3};$

Если $x \leq -1$ и $x \geq \frac{4}{3}$, тогда:
$3x^2 — x — 4 < 2;$
$3x^2 — x — 6 < 0;$
$D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 6 = 1 + 72 = 73, \text{тогда:}$
$x = \frac{1 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm \sqrt{73}}{6};$
$\left(x — \frac{1 — \sqrt{73}}{6}\right)\left(x — \frac{1 + \sqrt{73}}{6}\right) < 0;$
$\frac{1 — \sqrt{73}}{6} < x < \frac{1 + \sqrt{73}}{6};$

Если $-1 < x < \frac{4}{3}$, тогда:
$-(3x^2 — x — 4) < 2;$
$-3x^2 + x + 4 — 2 < 0;$
$3x^2 — x — 2 > 0;$
$D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 + 24 = 25, \text{тогда:}$
$x_1 = \frac{1 — 5}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 3} = 1;$
$\left(x + \frac{2}{3}\right)(x — 1) > 0;$
$x < -\frac{2}{3} \quad \text{и} \quad x \geq 1;$

Ответ: $\frac{1 — \sqrt{73}}{6} < x < -\frac{2}{3}; \, 1 < x < \frac{1 + \sqrt{73}}{6}$.

Задача 1:

$$|2x — 3| < x$$

Рассмотрим два случая:

Когда $2x — 3 \geq 0$ (то есть $x \geq 1.5$):

$$2x — 3 < x \quad \Rightarrow \quad x < 3$$

Таким образом, для $x \geq 1.5$, $x$ должно быть меньше 3. То есть $1.5 \leq x < 3$.

Когда $2x — 3 < 0$ (то есть $x < 1.5$):

$$-(2x — 3) < x \quad \Rightarrow \quad -2x + 3 < x \quad \Rightarrow \quad -3x < -3 \quad \Rightarrow \quad x > 1$$

Таким образом, для $x < 1.5$, $x$ должно быть больше 1. То есть $1 < x < 1.5$.

Ответ: $1 < x < 3$.

Задача 2:

$$|4 — x| > x$$

Рассмотрим два случая:

Когда $4 — x \geq 0$ (то есть $x \leq 4$):

$$4 — x > x \quad \Rightarrow \quad 2x < 4 \quad \Rightarrow \quad x < 2$$

Таким образом, для $x \leq 4$, $x$ должно быть меньше 2. То есть $x < 2$.

Когда $4 — x < 0$ (то есть $x > 4$):

$$-(4 — x) > x \quad \Rightarrow \quad -4 + x > x \quad \Rightarrow \quad 0x < -4$$

Это условие невозможно, корней нет.

Ответ: $x < 2$.

Задача 3:

$$|x^2 — 7x + 12| \leq 6$$

Число под знаком модуля:

$$x^2 — 7x + 12 \geq 0$$

Корни уравнения $x^2 — 7x + 12 = 0$ следующие:

$$D = 49 — 48 = 1, \quad x_1 = 3, \quad x_2 = 4$$

Неравенство $x^2 — 7x + 12 \geq 0$ выполняется при $x \leq 3$ или $x \geq 4$.

Теперь рассматриваем случаи:

Для $x \leq 3$ или $x \geq 4$:

$$x^2 — 7x + 12 \leq 6 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 7x + 6 \leq 0$$

Решаем это неравенство:

$$D = 49 — 24 = 25, \quad x_1 = 1, \quad x_2 = 6$$

То есть $1 \leq x \leq 6$.

Для $3 < x < 4$ (интервал между корнями):

$$-(x^2 — 7x + 12) \leq 6 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 7x + 18 \geq 0$$

Это неравенство не имеет корней, так как дискриминант отрицателен.

Ответ: $1 \leq x \leq 6$.

Задача 4:

$$|x^2 — 3x — 4| > 6$$

Число под знаком модуля:

$$x^2 — 3x — 4 \geq 0$$

Корни уравнения $x^2 — 3x — 4 = 0$ следующие:

$$D = 9 + 16 = 25, \quad x_1 = -1, \quad x_2 = 4$$

Неравенство $x^2 — 3x — 4 \geq 0$ выполняется при $x \leq -1$ или $x \geq 4$.

Теперь рассматриваем случаи:

Для $x \leq -1$ или $x \geq 4$:

$$x^2 — 3x — 4 > 6 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 3x — 10 > 0$$

Решаем это неравенство:

$$D = 49, \quad x_1 = -2, \quad x_2 = 5$$

То есть $x < -2$ или $x > 5$.

Для $-1 < x < 4$ (интервал между корнями):

$$-(x^2 — 3x — 4) > 6 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 — 3x + 2 < 0$$

Это неравенство выполняется при $1 < x < 2$.

Ответ: $x < -2$, $1 < x < 2$, $x > 5$.

Задача 5:

$$|2x^2 — x — 1| \geq 5$$

Число под знаком модуля:

$$2x^2 — x — 1 \geq 0$$

Корни уравнения $2x^2 — x — 1 = 0$ следующие:

$$D = 9, \quad x_1 = -0.5, \quad x_2 = 1$$

Неравенство $2x^2 — x — 1 \geq 0$ выполняется при $x \leq -0.5$ или $x \geq 1$.

Теперь рассматриваем случаи:

Для $x \leq -0.5$ или $x \geq 1$:

$$2x^2 — x — 6 \geq 0$$

Решаем это неравенство:

$$D = 49, \quad x_1 = -1.5, \quad x_2 = 2$$

То есть $x \leq -1.5$ или $x \geq 2$.

Для $-0.5 < x < 1$ (интервал между корнями):
Это условие невозможно, так как не существует корней для данного квадратного уравнения.

Ответ: $x \leq -1.5$, $x \geq 2$.

Задача 6:

$$|3x^2 — x — 4| \leq 2$$

Число под знаком модуля:

$$3x^2 — x — 4 \geq 0$$

Корни уравнения $3x^2 — x — 4 = 0$ следующие:

$$D = 49, \quad x_1 = -1, \quad x_2 = \frac{4}{3}$$

Неравенство $3x^2 — x — 4 \geq 0$ выполняется при $x \leq -1$ или $x \geq \frac{4}{3}$.

Теперь рассматриваем случаи:

Для $x \leq -1$ или $x \geq \frac{4}{3}$:

$$3x^2 — x — 6 \leq 0$$

Решаем это неравенство:

$$D = 73, \quad x_1 = \frac{1 — \sqrt{73}}{6}, \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{73}}{6}$$

То есть $\frac{1 — \sqrt{73}}{6} < x < \frac{1 + \sqrt{73}}{6}$.

Для $-1 < x < \frac{4}{3}$ (интервал между корнями):

$$3x^2 — x — 2 > 0$$

Это неравенство выполняется при $x < -\frac{2}{3}$ или $x \geq 1$.

Ответ: $\frac{1 — \sqrt{73}}{6} < x < -\frac{2}{3}$, $1 < x < \frac{1 + \sqrt{73}}{6}$.