ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1399 Алимов — Подробные Ответы

При каком наибольшем целом значении x выражение (x2-x-6)/(-7-x2) принимает положительное значение?

При каком наименьшем целом значении $x$ выражение принимает положительное значение:

$$\frac{x^2 — x — 6}{-7 — x^2} > 0;$$

Разложим знаменатель дроби на множители:

$$x^2 — x — 6 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;$$ $$(x + 2)(x — 3) = 0;$$

Получим неравенство:

$$\frac{(x + 2)(x — 3)}{-7 — x^2} > 0;$$ $$\frac{(x + 2)(x — 3)}{7 + x^2} < 0;$$ $$(x + 2)(x — 3) < 0;$$ $$-2 < x < 3;$$

Ответ: при $x = -1$.

Нужно найти наименьшее целое значение $x$, при котором выражение:

$$\frac{x^2 — x — 6}{-7 — x^2} > 0$$

принимает положительное значение.

Шаг 1: Разложение числителя и знаменателя

Для того чтобы решить это неравенство, начнем с разложения числителя и знаменателя на множители.

Числитель

Числитель — это выражение $x^2 — x — 6$. Чтобы разложить его на множители, решим уравнение:

$$x^2 — x — 6 = 0$$

Для этого находим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

Корни уравнения находятся по формуле:

$$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 5}{2}$$

Решения:

$$x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3$$

Таким образом, разложим числитель на множители:

$$x^2 — x — 6 = (x + 2)(x — 3)$$

Знаменатель

Теперь разложим знаменатель $-7 — x^2$. Это выражение можно переписать как:

$$-7 — x^2 = -(x^2 + 7)$$

Таким образом, знаменатель имеет вид:

$$-(x^2 + 7)$$

Теперь перепишем исходное неравенство с разложением на множители.

Шаг 2: Перепишем исходное неравенство

Теперь, зная разложение числителя и знаменателя, перепишем исходное неравенство:

$$\frac{(x + 2)(x — 3)}{-(x^2 + 7)} > 0$$

Мы видим, что знаменатель всегда отрицателен, поскольку выражение $x^2 + 7 > 0$ для всех $x$, а минус перед ним делает его всегда отрицательным. Таким образом, неравенство можно преобразовать:

$$\frac{(x + 2)(x — 3)}{7 + x^2} < 0$$

Теперь, так как знаменатель всегда положителен, выражение будет отрицательным, если числитель будет отрицательным. То есть:

$$(x + 2)(x — 3) < 0$$

Шаг 3: Исследуем неравенство $(x + 2)(x — 3) < 0$

Теперь решим неравенство $(x + 2)(x — 3) < 0$. Это неравенство означает, что произведение двух чисел должно быть отрицательным, то есть один из множителей должен быть положительным, а другой — отрицательным.

Найдем нули выражения $(x + 2)(x — 3) = 0$, при которых $x + 2 = 0$ и $x — 3 = 0$:

$$x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2$$ $$x — 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3$$

Теперь определим знаки произведения $(x + 2)(x — 3)$ на интервалах, которые делят эти значения $x = -2$ и $x = 3$:

1. $x < -2$: оба множителя $(x + 2)$ и $(x — 3)$ отрицательны, их произведение положительное.
2. $-2 < x < 3$: множитель $(x + 2)$ положителен, а $(x — 3)$ отрицателен, их произведение отрицательное.
3. $x > 3$: оба множителя $(x + 2)$ и $(x — 3)$ положительны, их произведение положительное.

Таким образом, произведение $(x + 2)(x — 3)$ отрицательно при $-2 < x < 3$.

Шаг 4: Определим наименьшее целое значение $x$

Задача просит нас найти наименьшее целое значение $x$, при котором выражение принимает положительное значение. Мы знаем, что выражение принимает отрицательное значение при $-2 < x < 3$, то есть на интервале $(-2, 3)$.

Наименьшее целое значение $x$, которое удовлетворяет этому интервалу, равно:

$$x = -1$$

Ответ

Таким образом, наименьшее целое значение $x$, при котором выражение принимает положительное значение, равно:

$$\boxed{-1}$$