ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1398 Алимов — Подробные Ответы

При каком наибольшем целом значении x выражение (1×2/2 + 3)/(x2-9x+14) принимает отрицательное значение?

При каком наибольшем целом значении $x$ выражение принимает отрицательное значение:

$$\frac{\frac{1}{2}x^2 + 3}{x^2 — 9x + 14} < 0;$$

Разложим знаменатель дроби на множители:

$$x^2 — 9x + 14 = 0;$$ $$D = 9^2 — 4 \cdot 14 = 81 — 56 = 25, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{9 — 5}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{9 + 5}{2} = 7;$$ $$(x — 2)(x — 7) = 0;$$

Получим неравенство:

$$\frac{\frac{1}{2}x^2 + 3}{(x — 2)(x — 7)} < 0;$$ $$(x — 2)(x — 7) < 0;$$ $$2 < x < 7;$$

Ответ: при $x = 6$.

Нужно найти наибольшее целое значение $x$, при котором выражение:

$$\frac{\frac{1}{2}x^2 + 3}{x^2 — 9x + 14} < 0$$

принимает отрицательное значение.

Шаг 1: Анализ исходного выражения

Имеем дробь с числителем $\frac{1}{2}x^2 + 3$ и знаменателем $x^2 — 9x + 14$. Чтобы решить неравенство, сначала разберемся с знаменателем.

Шаг 2: Разложение знаменателя на множители

Нам нужно разложить квадратный трёхчлен $x^2 — 9x + 14$ на множители. Для этого используем метод нахождения корней уравнения $x^2 — 9x + 14 = 0$.

Найдем дискриминант $D$ для этого уравнения:

$$D = b^2 — 4ac$$

Где $a = 1$, $b = -9$, $c = 14$. Подставляем:

$$D = (-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 — 56 = 25$$

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два различных корня. Находим их по формуле:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{9 — 5}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{9 + 5}{2} = 7$$

Таким образом, у нас есть два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = 7$.

Теперь можем разложить знаменатель на множители:

$$x^2 — 9x + 14 = (x — 2)(x — 7)$$

Шаг 3: Перепишем исходное неравенство

Теперь, когда мы знаем, что знаменатель раскладывается на множители, перепишем исходное неравенство:

$$\frac{\frac{1}{2}x^2 + 3}{(x — 2)(x — 7)} < 0$$

Чтобы решить это неравенство, нужно учитывать, что дробь будет отрицательной, когда числитель и знаменатель будут иметь разные знаки. Разберемся сначала с числителем и знаменателем.

Шаг 4: Исследование числителя

Числитель выражения:

$$\frac{1}{2}x^2 + 3$$

Это парабола с ветвями, направленными вверх (положительный коэффициент при $x^2$). Для всех $x$ числитель выражения всегда положителен, так как $\frac{1}{2}x^2$ всегда неотрицателен, а $+3$ смещает его вверх. Таким образом, числитель всегда положителен.

Шаг 5: Исследование знака знаменателя

Теперь, давайте исследуем знак знаменателя $(x — 2)(x — 7)$. Этот знак зависит от того, в каком интервале находится $x$. Для этого определим, когда произведение $(x — 2)(x — 7)$ будет отрицательным. Это происходит, когда один из множителей отрицателен, а другой положителен.

Мы знаем, что выражение $(x — 2)(x — 7)$ меняет знак в точках $x = 2$ и $x = 7$. Разделим ось чисел на три интервала:

1. $x < 2$
2. $2 < x < 7$
3. $x > 7$

Теперь проверим знак произведения $(x — 2)(x — 7)$ на этих интервалах:

• При $x < 2$: оба множителя $(x — 2)$ и $(x — 7)$ отрицательны, их произведение положительно.
• При $2 < x < 7$: $(x — 2)$ положителен, а $(x — 7)$ отрицателен, их произведение отрицательно.
• При $x > 7$: оба множителя положительны, их произведение положительно.

Таким образом, выражение $(x — 2)(x — 7)$ отрицательно, когда $2 < x < 7$.

Шаг 6: Условия для отрицательности выражения

Так как числитель всегда положителен, выражение $\frac{\frac{1}{2}x^2 + 3}{(x — 2)(x — 7)}$ будет отрицательным, когда знаменатель отрицателен. Мы уже выяснили, что знаменатель отрицателен при $2 < x < 7$.

Таким образом, выражение $\frac{\frac{1}{2}x^2 + 3}{(x — 2)(x — 7)}$ принимает отрицательное значение на интервале $2 < x < 7$.

Шаг 7: Наибольшее целое значение $x$

Теперь, когда мы знаем, что выражение отрицательно при $2 < x < 7$, находим наибольшее целое значение $x$ в этом интервале. Это значение $x = 6$.

Ответ

Наибольшее целое значение $x$, при котором выражение принимает отрицательное значение, равно:

$$\boxed{6}$$