ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1397 Алимов — Подробные Ответы

При каком наименьшем целом значении т уравнение (m — 7) х2 + 2 (m — 7) х + 3 = О не имеет действительных корней?

Уравнение:

$$(m-7)x^2 + 2(m-7)x + 3 = 0;$$

Не имеет действительных корней при $D < 0$:

$$D = 4(m-7)^2 — 4(m-7) \cdot 3 < 0;$$ $$4(m-7)(m-7-3) < 0;$$ $$(m-7)(m-10) < 0;$$ $$7 < m < 10;$$

При этом при $(m-7) = 0$ получим линейное уравнение, которое имеет только один корень, следовательно:

$$m-7 \neq 0;$$ $$m \neq 7;$$

Ответ: при $m = 8$ и $m = 9$.

Дано квадратное уравнение:

$$(m-7)x^2 + 2(m-7)x + 3 = 0$$

Это уравнение — квадратное относительно $x$, с коэффициентами, зависящими от параметра $m$. Чтобы понять, при каких значениях параметра $m$ уравнение не имеет действительных корней, необходимо найти дискриминант этого уравнения и исследовать его знак.

Шаг 1: Определение коэффициентов

Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ коэффициенты:

• $a = m — 7$,
• $b = 2(m — 7)$,
• $c = 3$.

Таким образом, для нашего уравнения:

• $a = m — 7$,
• $b = 2(m — 7)$,
• $c = 3$.

Шаг 2: Формула для дискриминанта

Дискриминант $D$ квадратного уравнения вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

Подставим найденные значения $a$, $b$ и $c$ в эту формулу:

$$D = \left(2(m — 7)\right)^2 — 4(m — 7) \cdot 3$$

Теперь упростим каждое из слагаемых.

Шаг 3: Упростим выражение для дискриминанта

Возведем в квадрат первое слагаемое:

$$\left(2(m — 7)\right)^2 = 4(m — 7)^2$$

Умножим второе слагаемое:

$$-4(m — 7) \cdot 3 = -12(m — 7)$$

Теперь подставим эти выражения в формулу для дискриминанта:

$$D = 4(m — 7)^2 — 12(m — 7)$$

Шаг 4: Извлечение общего множителя

В обоих слагаемых присутствует общий множитель $(m — 7)$, вынесем его:

$$D = (m — 7) \left( 4(m — 7) — 12 \right)$$

Теперь упростим выражение в скобках:

$$4(m — 7) — 12 = 4m — 28 — 12 = 4m — 40$$

Таким образом, получаем:

$$D = (m — 7)(4m — 40)$$

Шаг 5: Условие для отсутствия действительных корней

Уравнение не имеет действительных корней, если дискриминант $D$ меньше нуля, то есть:

$$D < 0$$

Это условие приведет к неравенству:

$$(m — 7)(4m — 40) < 0$$

Шаг 6: Разбор неравенства

Для того чтобы решить это неравенство, нужно найти, при каких значениях $m$ произведение $(m — 7)(4m — 40)$ будет отрицательным.

Рассмотрим два выражения:

• $m — 7$,
• $4m — 40$.

Решим их на нули:

1. $m — 7 = 0$, значит, $m = 7$.
2. $4m — 40 = 0$, значит, $m = 10$.

Таким образом, нули функции — это $m = 7$ и $m = 10$. Эти значения разбивают ось на три интервала:

• $m < 7$,
• $7 < m < 10$,
• $m > 10$.

Теперь проверим знак произведения $(m — 7)(4m — 40)$ на каждом интервале:

1. При $m < 7$ оба множителя $m — 7$ и $4m — 40$ отрицательны, их произведение положительно.
2. При $7 < m < 10$ множитель $m — 7$ положителен, а $4m — 40$ отрицателен, их произведение отрицательно.
3. При $m > 10$ оба множителя положительны, их произведение положительно.

Таким образом, произведение $(m — 7)(4m — 40)$ отрицательно, когда $7 < m < 10$.

Шаг 7: Исключение случая $m = 7$

При $m = 7$ уравнение принимает вид:

$$0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 3 = 0$$

Это уравнение не имеет решений, поскольку $3 = 0$ — ложное утверждение. Таким образом, $m = 7$ не является решением.

Шаг 8: Ответ

Из условия $D < 0$ мы получили, что уравнение не имеет действительных корней при $7 < m < 10$, при этом $m = 7$ исключается.

Ответ:

$$m = 8 \quad \text{и} \quad m = 9$$