ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1395 Алимов — Подробные Ответы

При каких значениях х выражение lg (x2 + 8x + 15) не имеет смысла?

Выражение:

$\lg(x^2 + 8x + 15)$;

Не имеет смысла при:
$x^2 + 8x + 15 \leq 0$;

$D = 8^2 — 4 \cdot 15 = 64 — 60 = 4$, тогда:
$x_1 = \frac{-8 — 2}{2} = -5$ и $x_2 = \frac{-8 + 2}{2} = -3$;

$(x + 5)(x + 3) \leq 0$;

$-5 \leq x \leq -3$;

Ответ: при $x \in [-5; -3]$.

Задача требует найти область допустимых значений для выражения:

$$lg(x^2 + 8x + 15)$$

Шаг 1: Условия, при которых логарифм имеет смысл

Логарифм может быть определён только для положительных чисел. То есть, для того чтобы логарифм был определён, выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля:

$$x^2 + 8x + 15 > 0$$

Шаг 2: Решение неравенства

Мы должны решить неравенство $x^2 + 8x + 15 > 0$. Для этого начнем с нахождения корней соответствующего квадратного уравнения:

$$x^2 + 8x + 15 = 0$$

Используем дискриминант для нахождения корней. Дискриминант $D$ для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

Подставляем значения $a = 1$, $b = 8$, $c = 15$:

$$D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 — 60 = 4$$

Корни уравнения находятся по формуле:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{-8 — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 — 2}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$ $$x_2 = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Таким образом, у нас есть корни $x_1 = -5$ и $x_2 = -3$.

Шаг 3: Исследование знака выражения $x^2 + 8x + 15$

Теперь нам нужно исследовать знак выражения $x^2 + 8x + 15$ на промежутках, разделённых найденными корнями $x_1 = -5$ и $x_2 = -3$. Разбиение на интервалы будет следующим:

• $(-\infty, -5)$
• $(-5, -3)$
• $(-3, +\infty)$

Мы можем подставить тестовые значения в каждый из этих интервалов, чтобы определить знак выражения.

Для интервала $(- \infty, -5)$, например, подставим $x = -6$:

$$x^2 + 8x + 15 = (-6)^2 + 8(-6) + 15 = 36 — 48 + 15 = 3$$

Знак положительный.

Для интервала $(-5, -3)$, например, подставим $x = -4$:

$$x^2 + 8x + 15 = (-4)^2 + 8(-4) + 15 = 16 — 32 + 15 = -1$$

Знак отрицательный.

Для интервала $(-3, +\infty)$, например, подставим $x = 0$:

$$x^2 + 8x + 15 = 0^2 + 8(0) + 15 = 15$$

Знак положительный.

Теперь у нас есть следующая информация о знаке выражения $x^2 + 8x + 15$:

• на интервале $(- \infty, -5)$ выражение положительное,
• на интервале $(-5, -3)$ выражение отрицательное,
• на интервале $(-3, +\infty)$ выражение положительное.

Таким образом, выражение $x^2 + 8x + 15$ будет положительным на интервалах $(- \infty, -5)$ и $(-3, +\infty)$, и отрицательным на интервале $(-5, -3)$.

Шаг 4: Подбор области допустимых значений

Чтобы логарифм был определён, нам нужно, чтобы $x^2 + 8x + 15 > 0$, то есть, выражение должно быть положительным. Следовательно, область допустимых значений будет $x \in (-\infty, -5) \cup (-3, +\infty)$.

Однако, мы должны также учитывать дополнительное условие задачи:

$$(x + 5)(x + 3) \leq 0$$

Шаг 5: Решение нового неравенства

Решим неравенство $(x + 5)(x + 3) \leq 0$. Найдем корни этого неравенства:

Корни: $x = -5$ и $x = -3$.

Рассмотрим знаки на интервалах:

• Для интервала $(- \infty, -5)$, например, подставим $x = -6$:

$$(x + 5)(x + 3) = (-6 + 5)(-6 + 3) = (-1)(-3) = 3$$

Знак положительный.

• Для интервала $(-5, -3)$, например, подставим $x = -4$:

$$(x + 5)(x + 3) = (-4 + 5)(-4 + 3) = (1)(-1) = -1$$

Знак отрицательный.

• Для интервала $(-3, +\infty)$, например, подставим $x = 0$:

$$(x + 5)(x + 3) = (0 + 5)(0 + 3) = (5)(3) = 15$$

Знак положительный.

Таким образом, неравенство $(x + 5)(x + 3) \leq 0$ выполняется на интервале $[-5, -3]$.

Шаг 6: Итоговое решение

Объединяя оба условия (условие логарифма и неравенство), получаем:

• Логарифм имеет смысл на интервалах $x \in (-\infty, -5) \cup (-3, +\infty)$,
• Неравенство $(x + 5)(x + 3) \leq 0$ выполняется на интервале $[-5, -3]$.

Таким образом, область допустимых значений для данного выражения:

$$x \in [-5, -3]$$

Ответ: $x \in [-5, -3]$.