ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1393 Алимов — Подробные Ответы

1. (x2-9)/(x2-4) < 0;
2. (2×2+3)(x+4)3 > 0.

1) $\frac{x^2 — 9}{x^2 — 4} < 0$;

$$\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)} < 0;$$ $$(x+3)(x+2)(x-2)(x-3) < 0;$$ $$-3 < x < -2 \text{ и } 2 < x < 3;$$

Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (2; 3)$.

2) $(2x^2 + 3)(x + 4)^3 > 0$;

$$x + 4 > 0;$$ $$x > -4;$$

Ответ: $x \in (-4; +\infty)$.

Задача 1: $\frac{x^2 — 9}{x^2 — 4} < 0$

Шаг 1: Преобразуем неравенство.

Исходное неравенство:

$$\frac{x^2 — 9}{x^2 — 4} < 0.$$

Для удобства представим числитель и знаменатель в виде множителей:

$$\frac{(x — 3)(x + 3)}{(x — 2)(x + 2)} < 0.$$

Теперь решим неравенство, которое у нас получилось:

$$\frac{(x — 3)(x + 3)}{(x — 2)(x + 2)} < 0.$$

Шаг 2: Найдем нули числителя и знаменателя.

Чтобы определить знаки выражения, нам нужно знать, при каких значениях $x$ числитель и знаменатель равны нулю.

1. Числитель $(x — 3)(x + 3)$ равен нулю, когда:

   $$x — 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3,$$ $$x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3.$$

2. Знаменатель $(x — 2)(x + 2)$ равен нулю, когда:

   $$x — 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2,$$ $$x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2.$$

Таким образом, выражение меняет знак в точках $x = -3$, $x = -2$, $x = 2$ и $x = 3$. Нам нужно определить, на каких интервалах дробь будет отрицательной. Точки, в которых дробь изменяет знак, делят числовую ось на интервалы: $(-\infty, -3)$, $(-3, -2)$, $(-2, 2)$, $(2, 3)$, и $(3, +\infty)$.

Шаг 3: Определим знаки на интервалах.

Проверим знаки выражения на этих интервалах, выбирая по одной точке на каждом из интервалов:

1. На интервале $(-\infty, -3)$, возьмем точку $x = -4$:

   $$\frac{(x — 3)(x + 3)}{(x — 2)(x + 2)} = \frac{(-4 — 3)(-4 + 3)}{(-4 — 2)(-4 + 2)} = \frac{(-7)(-1)}{(-6)(-2)} = \frac{7}{12} > 0.$$

   Знак положительный.

2. На интервале $(-3, -2)$, возьмем точку $x = -2.5$:

   $$\frac{(x — 3)(x + 3)}{(x — 2)(x + 2)} = \frac{(-2.5 — 3)(-2.5 + 3)}{(-2.5 — 2)(-2.5 + 2)} = \frac{(-5.5)(0.5)}{(-4.5)(-0.5)} = \frac{-2.75}{2.25} < 0.$$

   Знак отрицательный.

3. На интервале $(-2, 2)$, возьмем точку $x = 0$:

   $$\frac{(x — 3)(x + 3)}{(x — 2)(x + 2)} = \frac{(0 — 3)(0 + 3)}{(0 — 2)(0 + 2)} = \frac{(-3)(3)}{(-2)(2)} = \frac{-9}{-4} > 0.$$

   Знак положительный.

4. На интервале $(2, 3)$, возьмем точку $x = 2.5$:

   $$\frac{(x — 3)(x + 3)}{(x — 2)(x + 2)} = \frac{(2.5 — 3)(2.5 + 3)}{(2.5 — 2)(2.5 + 2)} = \frac{(-0.5)(5.5)}{(0.5)(4.5)} = \frac{-2.75}{2.25} < 0.$$

   Знак отрицательный.

5. На интервале $(3, +\infty)$, возьмем точку $x = 4$:

   $$\frac{(x — 3)(x + 3)}{(x — 2)(x + 2)} = \frac{(4 — 3)(4 + 3)}{(4 — 2)(4 + 2)} = \frac{(1)(7)}{(2)(6)} = \frac{7}{12} > 0.$$

   Знак положительный.

Шаг 4: Ответ.

Неравенство $\frac{(x — 3)(x + 3)}{(x — 2)(x + 2)} < 0$ выполняется на интервалах, где дробь отрицательна, то есть на интервалах $(-3, -2)$ и $(2, 3)$.

Ответ:

$$x \in (-3; -2) \cup (2; 3).$$

Задача 2: $(2x^2 + 3)(x + 4)^3 > 0$

Шаг 1: Разложим неравенство.

Неравенство:

$$(2x^2 + 3)(x + 4)^3 > 0.$$

Мы видим, что $2x^2 + 3$ всегда положительно, так как $2x^2 \geq 0$ и $3 > 0$ для любых значений $x$. Следовательно, неравенство зависит только от знака выражения $(x + 4)^3$.

Шаг 2: Решаем неравенство $(x + 4)^3 > 0$.

Решение:

$$(x + 4)^3 > 0 \quad \Rightarrow \quad x + 4 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -4.$$

Шаг 3: Ответ.

Неравенство выполняется при $x > -4$, так как $2x^2 + 3$ всегда положительно, и выражение $(x + 4)^3$ больше нуля при $x > -4$.

Ответ:

$$x \in (-4; +\infty).$$

Итоговые ответы:

1. $x \in (-3; -2) \cup (2; 3)$
2. $x \in (-4; +\infty)$