ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1391 Алимов — Подробные Ответы

Решить неравенство (1391—1394).

1. $\frac{5x + 4}{x — 3} < 4$;
2. $\frac{2}{x — 4} < 1$;
3. $\frac{2}{x + 3} \leq 4$

1) $\frac{5x + 4}{x — 3} < 4$;

$$\frac{5x + 4 — 4(x — 3)}{x — 3} < 0;$$ $$\frac{5x + 4 — 4x + 12}{x — 3} < 0;$$ $$\frac{x + 16}{x — 3} < 0;$$ $$(x + 16)(x — 3) < 0;$$ $$-16 < x < 3;$$

Ответ: $x \in (-16; 3)$.

2) $\frac{2}{x — 4} < 1$;

$$2 — (x — 4) < 0;$$ $$\frac{2 — (x — 4)}{x — 4} < 0;$$ $$\frac{6 — x}{x — 4} < 0;$$ $$(x — 4)(6 — x) < 0;$$ $$(x — 4)(x — 6) > 0;$$ $$x < 4 \text{ и } x > 6;$$

Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (6; +\infty)$.

3) $\frac{2}{x + 3} \leq 4$;

$$2 — 4(x + 3) \leq 0;$$ $$\frac{2 — 4(x + 3)}{x + 3} \leq 0;$$ $$\frac{2 — 4x — 12}{x + 3} \leq 0;$$ $$\frac{-4x — 10}{x + 3} \leq 0;$$ $$\frac{4x + 10}{x + 3} \geq 0;$$ $$(x + 3)(4x + 10) \geq 0;$$ $$x < -3 \text{ и } x \geq -2,5;$$

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup [-2,5; +\infty)$.

Задача 1: $\frac{5x + 4}{x — 3} < 4$

Шаг 1: Переводим неравенство в удобный вид.

Начнем с того, что преобразуем неравенство в удобный вид для решения. Для этого вычитаем 4 с обеих сторон:

$$\frac{5x + 4}{x — 3} — 4 < 0.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{5x + 4}{x — 3} — \frac{4(x — 3)}{x — 3} < 0.$$

Теперь у нас общий знаменатель $x — 3$:

$$\frac{5x + 4 — 4(x — 3)}{x — 3} < 0.$$

Раскрываем скобки:

$$\frac{5x + 4 — 4x + 12}{x — 3} < 0,$$ $$\frac{x + 16}{x — 3} < 0.$$

Шаг 2: Решаем неравенство $\frac{x + 16}{x — 3} < 0$.

Теперь решаем неравенство $\frac{x + 16}{x — 3} < 0$. Для этого определим, при каких значениях $x$ дробь будет отрицательной. Дробь меняет знак, когда числитель и знаменатель меняют знак.

1. Числитель $x + 16$ равен нулю, когда:

   $$x + 16 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -16.$$

2. Знаменатель $x — 3$ равен нулю, когда:

   $$x — 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3.$$

Таким образом, дробь меняет знак в точках $x = -16$ и $x = 3$. Теперь определим, на каких промежутках дробь будет отрицательной, проверив знаки на интервалах, определяемых этими точками: $(- \infty, -16)$, $(-16, 3)$, и $(3, +\infty)$.

Шаг 3: Определяем знаки на интервалах.

1. На интервале $(-\infty, -16)$, возьмем точку $x = -17$:

   $$\frac{-17 + 16}{-17 — 3} = \frac{-1}{-20} > 0.$$

   Знак положительный.

2. На интервале $(-16, 3)$, возьмем точку $x = 0$:

   $$\frac{0 + 16}{0 — 3} = \frac{16}{-3} < 0.$$

   Знак отрицательный.

3. На интервале $(3, +\infty)$, возьмем точку $x = 4$:

   $$\frac{4 + 16}{4 — 3} = \frac{20}{1} > 0.$$

   Знак положительный.

Шаг 4: Ответ.

Неравенство выполняется, когда дробь отрицательна, то есть на интервале $(-16, 3)$.

Ответ для первого неравенства:

$$x \in (-16; 3).$$

Задача 2: $\frac{2}{x — 4} < 1$

Шаг 1: Переводим неравенство в удобный вид.

Начнем с того, что преобразуем неравенство в удобный вид для решения. Для этого вычитаем 1 с обеих сторон:

$$\frac{2}{x — 4} — 1 < 0.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{2}{x — 4} — \frac{x — 4}{x — 4} < 0.$$

Теперь у нас общий знаменатель $x — 4$:

$$\frac{2 — (x — 4)}{x — 4} < 0.$$

Упростим числитель:

$$\frac{6 — x}{x — 4} < 0.$$

Шаг 2: Решаем неравенство $\frac{6 — x}{x — 4} < 0$.

Чтобы решить неравенство, определим, при каких значениях $x$ дробь будет отрицательной. Для этого нужно, чтобы числитель и знаменатель имели противоположные знаки.

1. Числитель $6 — x$ равен нулю, когда:

   $$6 — x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 6.$$

2. Знаменатель $x — 4$ равен нулю, когда:

   $$x — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4.$$

Теперь определим знаки на интервалах, определяемых точками $x = 4$ и $x = 6$: $(-\infty, 4)$, $(4, 6)$, и $(6, +\infty)$.

Шаг 3: Определяем знаки на интервалах.

1. На интервале $(-\infty, 4)$, возьмем точку $x = 0$:

   $$\frac{6 — 0}{0 — 4} = \frac{6}{-4} < 0.$$

   Знак отрицательный.

2. На интервале $(4, 6)$, возьмем точку $x = 5$:

   $$\frac{6 — 5}{5 — 4} = \frac{1}{1} > 0.$$

   Знак положительный.

3. На интервале $(6, +\infty)$, возьмем точку $x = 7$:

   $$\frac{6 — 7}{7 — 4} = \frac{-1}{3} < 0.$$

   Знак отрицательный.

Шаг 4: Ответ.

Неравенство выполняется, когда дробь отрицательна, то есть на интервалах $(-\infty, 4)$ и $(6, +\infty)$.

Ответ для второго неравенства:

$$x \in (-\infty; 4) \cup (6; +\infty).$$

Задача 3: $\frac{2}{x + 3} \leq 4$

Шаг 1: Переводим неравенство в удобный вид.

Начнем с того, что преобразуем неравенство в удобный вид для решения. Для этого вычитаем 4 с обеих сторон:

$$\frac{2}{x + 3} — 4 \leq 0.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{2}{x + 3} — \frac{4(x + 3)}{x + 3} \leq 0.$$

Теперь у нас общий знаменатель $x + 3$:

$$\frac{2 — 4(x + 3)}{x + 3} \leq 0.$$

Раскрываем скобки:

$$\frac{2 — 4x — 12}{x + 3} \leq 0,$$ $$\frac{-4x — 10}{x + 3} \leq 0.$$

Умножаем числитель и знаменатель на $-1$ (не меняя знака неравенства):

$$\frac{4x + 10}{x + 3} \geq 0.$$

Шаг 2: Решаем неравенство $\frac{4x + 10}{x + 3} \geq 0$.

Теперь решаем неравенство $\frac{4x + 10}{x + 3} \geq 0$. Это неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.

1. Числитель $4x + 10$ равен нулю, когда:

   $$4x + 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{5}{2}.$$

2. Знаменатель $x + 3$ равен нулю, когда:

   $$x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3.$$

Теперь определим знаки на интервалах, определяемых точками $x = -3$ и $x = -\frac{5}{2}$: $(- \infty, -3)$, $(-3, -\frac{5}{2})$, и $(- \frac{5}{2}, +\infty)$.

Шаг 3: Определяем знаки на интервалах.

1. На интервале $(-\infty, -3)$, возьмем точку $x = -4$:

   $$\frac{4(-4) + 10}{-4 + 3} = \frac{-16 + 10}{-1} = \frac{-6}{-1} = 6 > 0.$$

   Знак положительный.

2. На интервале $(-3, -\frac{5}{2})$, возьмем точку $x = -2.8$:

   $$\frac{4(-2.8) + 10}{-2.8 + 3} = \frac{-11.2 + 10}{0.2} = \frac{-1.2}{0.2} = -6 < 0.$$

   Знак отрицательный.

3. На интервале $(-\frac{5}{2}, +\infty)$, возьмем точку $x = 0$:

   $$\frac{4(0) + 10}{0 + 3} = \frac{10}{3} > 0.$$

   Знак положительный.

Шаг 4: Ответ.

Неравенство выполняется, когда дробь неотрицательна, то есть на интервалах $(-\infty, -3)$ и $(-\frac{5}{2}, +\infty)$.

Ответ для третьего неравенства:

$$x \in (-\infty; -3) \cup \left[-\frac{5}{2}; +\infty\right).$$

Итоговые ответы:

1. $x \in (-16; 3)$
2. $x \in (-\infty; 4) \cup (6; +\infty)$
3. $x \in (-\infty; -3) \cup \left[-\frac{5}{2}; +\infty\right)$