ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1385 Алимов — Подробные Ответы

1. tg 2х = 3 tg x;
2. ctg 2x = 2 ctg x;
3. tg(x+пи/4) + tg(x-пи/4) =2;
4. tg(2x+1)ctg(x+1)=1.

1) $\operatorname{tg} 2x = 3 \operatorname{tg} x$

$$\frac{2 \sin x \cdot \cos x}{\cos^2 x — \sin^2 x} — \frac{3 \sin x}{\cos x} = 0;$$ $$\frac{2 \sin x \cdot \cos^2 x — 3 \sin x (\cos^2 x — \sin^2 x)}{\cos x \cdot (\cos^2 x — \sin^2 x)} = 0;$$ $$\frac{2 \sin x \cdot \cos^2 x — 3 \sin x \cdot \cos^2 x + 3 \sin^3 x}{\cos x \cdot \cos 2x} = 0;$$ $$\frac{3 \sin^3 x — \sin x \cdot \cos^2 x}{\cos x \cdot \cos 2x} = 0;$$ $$\frac{\sin x \cdot (3 \sin^2 x — \cos^2 x)}{\cos x \cdot \cos 2x} = 0;$$ $$\frac{\sin x \cdot (3 \sin^2 x — \cos^2 x)}{\cos x \cdot \cos 2x} = 0;$$ $$\frac{\sin x \cdot (3 — 4 \cos^2 x)}{\cos x \cdot \cos 2x} = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$3 — 4 \cos^2 x = 0;$$ $$4 \cos^2 x = 3;$$ $$\cos^2 x = \frac{3}{4};$$ $$\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x \neq \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ: $\pi n; \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$.

2) $\operatorname{ctg} 2x = 2 \operatorname{ctg} x$

$$\frac{\cos 2x}{\sin 2x} — \frac{2 \cos x}{\sin x} = 0;$$ $$\frac{\cos 2x}{2 \sin x \cdot \cos x} — \frac{2 \cos^2 x}{\frac{1}{2} \sin x \cdot \cos x} = 0;$$ $$\frac{\cos 2x — 4 \cos^2 x}{2 \sin x \cdot \cos x} = 0;$$ $$\frac{\cos^2 x — \sin^2 x — 4 \cos^2 x}{\sin 2x} = 0;$$ $$\frac{- \sin^2 x + 3 \cos^2 x}{\sin 2x} = 0;$$ $$\frac{1 — \cos^2 x + 3 \cos^2 x}{\sin 2x} = 0;$$ $$\frac{1 + 2 \cos^2 x}{\sin 2x} = 0;$$ $$1 + 2 \cos^2 x = 0;$$ $$\cos^2 x = -\frac{1}{2} \quad \text{(корней нет)};$$

Ответ: решений нет.

3) $\operatorname{tg} \left( x + \frac{\pi}{4} \right) + \operatorname{tg} \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = 2$

$$\frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}}{1 — \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}} + \frac{\operatorname{tg} x — \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}}{1 + \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}} = 2;$$ $$\frac{\operatorname{tg} x + 1}{1 — \operatorname{tg} x} + \frac{\operatorname{tg} x — 1}{1 + \operatorname{tg} x} = 2;$$ $$\frac{(\operatorname{tg} x + 1)^2 — (\operatorname{tg} x — 1)^2}{(1 — \operatorname{tg} x)(1 + \operatorname{tg} x)} = 2;$$ $$\frac{\operatorname{tg}^2 x + 2 \operatorname{tg} x + 1 — (\operatorname{tg}^2 x — 2 \operatorname{tg} x + 1)}{1 — \operatorname{tg}^2 x} = 2;$$ $$\frac{\operatorname{tg}^2 x + 2 \operatorname{tg} x + 1 — \operatorname{tg}^2 x + 2 \operatorname{tg} x — 1}{1 — \operatorname{tg}^2 x} = 2;$$ $$\frac{4 \operatorname{tg} x}{1 — \operatorname{tg}^2 x} = 2;$$ $$4 \cdot \operatorname{tg} x = 2 \cdot (1 — \operatorname{tg}^2 x);$$ $$4 \operatorname{tg} x = 2 — 2 \operatorname{tg}^2 x;$$ $$2 \operatorname{tg}^2 x + 4 \operatorname{tg} x — 2 = 0;$$ $$\operatorname{tg}^2 x + 2 \operatorname{tg} x — 1 = 0;$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$:

$$y^2 + 2y — 1 = 0;$$ $$y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2};$$ $$\operatorname{tg} x = -1 + \sqrt{2} \quad \text{или} \quad \operatorname{tg} x = -1 — \sqrt{2};$$ $$x = \arctg(-1 + \sqrt{2}) + \pi n \quad \text{или} \quad x = \arctg(-1 — \sqrt{2}) + \pi n.$$

4) $\operatorname{tg}(2x + 1) \cdot \operatorname{ctg}(x + 1) = 1$

$$\operatorname{tg}(2x + 1) = \frac{1}{\operatorname{ctg}(x + 1)};$$ $$\operatorname{tg}(2x + 1) = \operatorname{tg}(x + 1);$$ $$\frac{\sin(2x + 1)}{\cos(2x + 1)} = \frac{\sin(x + 1)}{\cos(x + 1)};$$ $$\sin(2x + 1) \cdot \cos(x + 1) — \sin(x + 1) \cdot \cos(2x + 1) = 0;$$ $$\sin((2x + 1) — (x + 1)) = 0;$$ $$\sin x = 0;$$ $$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$

Ответ: $\pi n$.

Задача 1: $\operatorname{tg} 2x = 3 \operatorname{tg} x$

Шаг 1: Преобразование уравнения.

Исходное уравнение:

$$\operatorname{tg} 2x = 3 \operatorname{tg} x.$$

Используем формулу для тангенса двойного угла:

$$\operatorname{tg} 2x = \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x — \sin^2 x}.$$

Подставляем это в исходное уравнение:

$$\frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x — \sin^2 x} = 3 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}.$$

Теперь умножим обе части на $\cos x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$):

$$\frac{2 \sin x \cos^2 x}{\cos^2 x — \sin^2 x} = 3 \sin x.$$

Умножим обе части на $\cos^2 x — \sin^2 x$ (при условии, что $\cos^2 x — \sin^2 x \neq 0$):

$$2 \sin x \cos^2 x = 3 \sin x (\cos^2 x — \sin^2 x).$$

Теперь раскроем скобки:

$$2 \sin x \cos^2 x = 3 \sin x \cos^2 x — 3 \sin x \sin^2 x.$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$2 \sin x \cos^2 x — 3 \sin x \cos^2 x + 3 \sin^3 x = 0.$$

Упростим:

$$-\sin x \cos^2 x + 3 \sin^3 x = 0.$$

Вынесем общий множитель $\sin x$:

$$\sin x \left( -\cos^2 x + 3 \sin^2 x \right) = 0.$$

Теперь рассмотрим два случая.

Шаг 2: Рассмотрим первый случай: $\sin x = 0$.

Если $\sin x = 0$, то:

$$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом, одно решение:

$$x = \pi n.$$

Шаг 3: Рассмотрим второй случай: $-\cos^2 x + 3 \sin^2 x = 0$.

Решаем это уравнение:

$$-\cos^2 x + 3 \sin^2 x = 0.$$

Преобразуем его:

$$3 \sin^2 x = \cos^2 x.$$

Используем тождество $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$:

$$3 \sin^2 x = 1 — \sin^2 x.$$

Переносим все на одну сторону:

$$3 \sin^2 x + \sin^2 x = 1.$$

Упрощаем:

$$4 \sin^2 x = 1,$$ $$\sin^2 x = \frac{1}{4},$$ $$\sin x = \pm \frac{1}{2}.$$

Теперь находим решения для $x$:

Если $\sin x = \frac{1}{2}$, то:

$$x = \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Если $\sin x = -\frac{1}{2}$, то:

$$x = \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Шаг 4: Ограничение на решение.

Для выражения $\operatorname{tg} 2x = 3 \operatorname{tg} x$ имеет смысл, если $\cos x \neq 0$, что означает, что:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Ответ для первого уравнения:

$$x = \pi n; \quad x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Задача 2: $\operatorname{ctg} 2x = 2 \operatorname{ctg} x$

Шаг 1: Преобразование уравнения.

Исходное уравнение:

$$\operatorname{ctg} 2x = 2 \operatorname{ctg} x.$$

Используем формулу для котангенса двойного угла:

$$\operatorname{ctg} 2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x}.$$

Подставляем это в исходное уравнение:

$$\frac{\cos 2x}{\sin 2x} = 2 \cdot \frac{\cos x}{\sin x}.$$

Теперь умножим обе части на $\sin x \sin 2x$ (при условии, что $\sin x \neq 0$ и $\sin 2x \neq 0$):

$$\cos 2x \sin x = 2 \cos x \sin 2x.$$

Используем формулу для $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$$\cos 2x \sin x = 2 \cos x \cdot 2 \sin x \cos x.$$

Упрощаем:

$$\cos 2x \sin x = 4 \cos^2 x \sin x.$$

Если $\sin x \neq 0$, делим обе части на $\sin x$:

$$\cos 2x = 4 \cos^2 x.$$

Теперь используем тождество для $\cos 2x$:

$$\cos 2x = 2 \cos^2 x — 1.$$

Подставляем это в уравнение:

$$2 \cos^2 x — 1 = 4 \cos^2 x.$$

Переносим все на одну сторону:

$$2 \cos^2 x — 1 — 4 \cos^2 x = 0,$$ $$-2 \cos^2 x — 1 = 0,$$ $$2 \cos^2 x = -1 \quad \text{(корней нет)}.$$

Ответ для второго уравнения:

Решений нет.

Задача 3: $\operatorname{tg} \left( x + \frac{\pi}{4} \right) + \operatorname{tg} \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = 2$

Шаг 1: Преобразование уравнения.

Используем формулы для суммы тангенсов:

$$\operatorname{tg} (A + B) = \frac{\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B}{1 — \operatorname{tg} A \cdot \operatorname{tg} B}.$$

Для каждого тангенса в исходном уравнении:

$$\operatorname{tg} \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\operatorname{tg} x + 1}{1 — \operatorname{tg} x},$$ $$\operatorname{tg} \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\operatorname{tg} x — 1}{1 + \operatorname{tg} x}.$$

Подставляем в исходное уравнение:

$$\frac{\operatorname{tg} x + 1}{1 — \operatorname{tg} x} + \frac{\operatorname{tg} x — 1}{1 + \operatorname{tg} x} = 2.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{(\operatorname{tg} x + 1)^2 — (\operatorname{tg} x — 1)^2}{(1 — \operatorname{tg} x)(1 + \operatorname{tg} x)} = 2.$$

Используем разность квадратов:

$$\frac{(\operatorname{tg} x + 1)^2 — (\operatorname{tg} x — 1)^2}{1 — \operatorname{tg}^2 x} = 2.$$

Упрощаем числитель:

$$(\operatorname{tg}^2 x + 2 \operatorname{tg} x + 1) — (\operatorname{tg}^2 x — 2 \operatorname{tg} x + 1) = 4 \operatorname{tg} x.$$

Подставляем это в уравнение:

$$\frac{4 \operatorname{tg} x}{1 — \operatorname{tg}^2 x} = 2.$$

Умножим обе части на $1 — \operatorname{tg}^2 x$:

$$4 \operatorname{tg} x = 2(1 — \operatorname{tg}^2 x).$$

Раскроем скобки:

$$4 \operatorname{tg} x = 2 — 2 \operatorname{tg}^2 x.$$

Переносим все на одну сторону:

$$2 \operatorname{tg}^2 x + 4 \operatorname{tg} x — 2 = 0.$$

Разделим на 2:

$$\operatorname{tg}^2 x + 2 \operatorname{tg} x — 1 = 0.$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда у нас квадратное уравнение:

$$y^2 + 2y — 1 = 0.$$

Решаем это уравнение:

$$y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}.$$

Таким образом:

$$\operatorname{tg} x = -1 + \sqrt{2} \quad \text{или} \quad \operatorname{tg} x = -1 — \sqrt{2}.$$

Теперь находим $x$:

$$x = \arctg(-1 + \sqrt{2}) + \pi n \quad \text{или} \quad x = \arctg(-1 — \sqrt{2}) + \pi n.$$

Ответ для третьего уравнения:

$$x = \arctg(-1 + \sqrt{2}) + \pi n \quad \text{или} \quad x = \arctg(-1 — \sqrt{2}) + \pi n.$$

Задача 4: $\operatorname{tg}(2x + 1) \cdot \operatorname{ctg}(x + 1) = 1$

Шаг 1: Преобразование уравнения.

Используем соотношение:

$$\operatorname{tg}(2x + 1) = \frac{1}{\operatorname{ctg}(x + 1)}.$$

Подставляем в уравнение:

$$\operatorname{tg}(2x + 1) = \operatorname{tg}(x + 1).$$

Теперь равенство:

$$\frac{\sin(2x + 1)}{\cos(2x + 1)} = \frac{\sin(x + 1)}{\cos(x + 1)}.$$

Умножаем обе стороны на $\cos(2x + 1) \cos(x + 1)$:

$$\sin(2x + 1) \cos(x + 1) — \sin(x + 1) \cos(2x + 1) = 0.$$

Используем формулу для синуса разности:

$$\sin((2x + 1) — (x + 1)) = 0.$$

Получаем:

$$\sin x = 0.$$

Решение:

$$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n.$$

Ответ для четвертого уравнения:

$$x = \pi n.$$