ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1383 Алимов — Подробные Ответы

1. sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0;
2. cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0.

$\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0$;

$$2 \cdot \sin \left( \frac{x + 4x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{4x — x}{2} \right) + 2 \cdot \sin \left( \frac{2x + 3x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{3x — 2x}{2} \right) = 0;$$ $$\sin \left( \frac{5x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{3x}{2} \right) + \sin \left( \frac{5x}{2} \right) + \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0;$$ $$\sin \left( \frac{5x}{2} \right) \cdot \left( \cos \left( \frac{3x}{2} \right) + \cos \left( \frac{x}{2} \right) \right) = 0;$$ $$\sin \left( \frac{5x}{2} \right) \cdot 2 \cdot \cos \left( \frac{\frac{3x}{2} + \frac{x}{2}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\frac{3x}{2} — \frac{x}{2}}{2} \right) = 0;$$ $$\sin \left( \frac{5x}{2} \right) \cdot \cos x \cdot \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0;$$

Решение:

Первое уравнение:

$$\sin \left( \frac{5x}{2} \right) = 0;$$ $$\frac{5x}{2} = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{2\pi n}{5};$$

Второе уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Третье уравнение:

$$\cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0;$$ $$\frac{x}{2} = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = 2 \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \pi + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\frac{2\pi n}{5}; \frac{\pi}{2} + \pi n; \pi + 2\pi n.$$

$\cos \left( \frac{5x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{3x}{2} \right) + \cos \left( \frac{5x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0$;

$$\cos \left( \frac{5x}{2} \right) \cdot \left( \cos \left( \frac{3x}{2} \right) + \cos \left( \frac{x}{2} \right) \right) = 0;$$ $$\cos \left( \frac{5x}{2} \right) \cdot 2 \cdot \cos \left( \frac{\frac{3x}{2} + \frac{x}{2}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\frac{3x}{2} — \frac{x}{2}}{2} \right) = 0;$$ $$\cos \left( \frac{5x}{2} \right) \cdot \cos x \cdot \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0;$$

Решение:

Первое уравнение:

$$\cos \left( \frac{5x}{2} \right) = 0;$$ $$\frac{5x}{2} = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{2}{5} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi n}{5};$$

Второе уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Третье уравнение:

$$\cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0;$$ $$\frac{x}{2} = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = 2 \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \pi + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{5} + \frac{2\pi n}{5}; \frac{\pi}{2} + \pi n; \pi + 2\pi n.$$

Часть 1: $\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0$

Шаг 1: Преобразование уравнения.

Для начала используем форму для суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right).$$

Рассмотрим уравнение:

$$\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0.$$

Мы можем разделить его на две пары и применить указанную форму:

Для $\sin x + \sin 4x$:

$$\sin x + \sin 4x = 2 \sin \left( \frac{x + 4x}{2} \right) \cos \left( \frac{4x — x}{2} \right) = 2 \sin \left( \frac{5x}{2} \right) \cos \left( \frac{3x}{2} \right).$$

Для $\sin 2x + \sin 3x$:

$$\sin 2x + \sin 3x = 2 \sin \left( \frac{2x + 3x}{2} \right) \cos \left( \frac{3x — 2x}{2} \right) = 2 \sin \left( \frac{5x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right).$$

Теперь подставляем эти выражения в исходное уравнение:

$$2 \sin \left( \frac{5x}{2} \right) \cos \left( \frac{3x}{2} \right) + 2 \sin \left( \frac{5x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0.$$

Шаг 2: Выделение общего множителя.

В обоих слагаемых есть общий множитель $2 \sin \left( \frac{5x}{2} \right)$. Вынесем его за скобки:

$$2 \sin \left( \frac{5x}{2} \right) \left( \cos \left( \frac{3x}{2} \right) + \cos \left( \frac{x}{2} \right) \right) = 0.$$

Теперь у нас есть два возможных случая для решения уравнения.

Случай 1: $\sin \left( \frac{5x}{2} \right) = 0$

Для этого уравнения:

$$\sin \left( \frac{5x}{2} \right) = 0.$$

Решение уравнения $\sin \theta = 0$ дается формулой:

$$\frac{5x}{2} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Отсюда:

$$x = \frac{2\pi n}{5}.$$

Случай 2: $\cos \left( \frac{3x}{2} \right) + \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0$

Используем формулу для суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right).$$

Применим её к $\cos \left( \frac{3x}{2} \right) + \cos \left( \frac{x}{2} \right)$:

$$\cos \left( \frac{3x}{2} \right) + \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 2 \cos \left( \frac{3x/2 + x/2}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{3x/2 — x/2}{2} \right) = 2 \cos \left( \frac{2x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x}{2} \right).$$

Тогда уравнение примет вид:

$$2 \cos x \cdot \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0.$$

Это уравнение имеет два возможных решения.

Подслучай 1: $\cos x = 0$

Для этого уравнения:

$$\cos x = 0,$$

решение дается формулой:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Подслучай 2: $\cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0$

Для этого уравнения:

$$\cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0,$$

решение дается формулой:

$$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z},$$

откуда:

$$x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

$$x = \frac{2\pi n}{5}, \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x = \pi + 2\pi n.$$

Часть 2: $\cos \left( \frac{5x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{3x}{2} \right) + \cos \left( \frac{5x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0$

Шаг 1: Преобразование уравнения.

Опять же, как и в первой части, мы можем вынести общий множитель:

$$\cos \left( \frac{5x}{2} \right) \left( \cos \left( \frac{3x}{2} \right) + \cos \left( \frac{x}{2} \right) \right) = 0.$$

Это уравнение также разбивается на два возможных случая.

Случай 1: $\cos \left( \frac{5x}{2} \right) = 0$

Для этого уравнения:

$$\cos \left( \frac{5x}{2} \right) = 0.$$

Решение уравнения $\cos \theta = 0$ дается формулой:

$$\frac{5x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Отсюда:

$$x = \frac{2}{5} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi n}{5}.$$

Случай 2: $\cos \left( \frac{3x}{2} \right) + \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0$

Как и ранее, применим формулу для суммы косинусов:

$$\cos \left( \frac{3x}{2} \right) + \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 2 \cos \left( \frac{2x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 2 \cos x \cdot \cos \left( \frac{x}{2} \right).$$

Теперь у нас уравнение:

$$2 \cos x \cdot \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0.$$

Это уравнение также делится на два подслучая.

Подслучай 1: $\cos x = 0$

Для этого уравнения:

$$\cos x = 0,$$

решение дается формулой:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Подслучай 2: $\cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0$

Для этого уравнения:

$$\cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0,$$

решение дается формулой:

$$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z},$$

откуда:

$$x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi n}{5}, \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x = \pi + 2\pi n.$$

Итоговый ответ:

1. Часть 1: $x = \frac{2\pi n}{5}, \, \frac{\pi}{2} + \pi n, \, \pi + 2\pi n$.
2. Часть 2: $x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi n}{5}, \, \frac{\pi}{2} + \pi n, \, \pi + 2\pi n$.