ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1380 Алимов — Подробные Ответы

1. sin x + sin 5x = sin 3x;
2. cos 7x — cos 3x = 3 sin5x.

Часть 1:

$\sin x + \sin 5x = \sin 3x$;

$2 \cdot \sin \frac{5x + x}{2} \cdot \cos \frac{5x — x}{2} — \sin 3x = 0$;

$2 \cdot \sin 3x \cdot \cos 2x — \sin 3x = 0$;

$\sin 3x \cdot (2 \cos 2x — 1) = 0$;

Первое уравнение:

$\sin 3x = 0;$

$3x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$

$x = \frac{\pi n}{3};$

Второе уравнение:

$2 \cos 2x — 1 = 0;$

$2 \cos 2x = 1;$

$\cos 2x = \frac{1}{2};$

$2x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$

$x = \frac{1}{2} \left( \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n;$

Ответ:

$\boxed{\frac{\pi n}{3}, \pm \frac{\pi}{6} + \pi n}$

Часть 2:

$\cos 7x — \cos 3x = 3 \sin 5x$;

$-2 \cdot \sin \frac{7x + 3x}{2} \cdot \sin \frac{7x — 3x}{2} — 3 \sin 5x = 0$;

$-2 \cdot \sin 5x \cdot \sin 2x — 3 \sin 5x = 0$;

$-\sin 5x \cdot (2 \sin 2x + 3) = 0$;

Первое уравнение:

$\sin 5x = 0;$

$5x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$

$x = \frac{\pi n}{5};$

Второе уравнение:

$2 \sin 2x + 3 = 0;$

$2 \sin 2x = -3;$

$\sin 2x = -\frac{3}{2};$

Корней нет.

Ответ:

$\boxed{\frac{\pi n}{5}}$

Часть 1:

Уравнение 1:
$\sin x + \sin 5x = \sin 3x$

Используем формулу для суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

В нашем случае $A = x$, $B = 5x$, и $\sin 3x$ остаётся без изменений. Применим эту формулу к левой части уравнения:

$$\sin x + \sin 5x = 2 \sin \left( \frac{x + 5x}{2} \right) \cos \left( \frac{x — 5x}{2} \right)$$ $$\sin x + \sin 5x = 2 \sin \left( 3x \right) \cos \left( -2x \right)$$

Поскольку $\cos(-2x) = \cos(2x)$, уравнение принимает вид:

$$2 \sin 3x \cos 2x = \sin 3x$$

Теперь можно разделить обе стороны на $\sin 3x$ (если $\sin 3x \neq 0$):

$$2 \cos 2x = 1$$ $$\cos 2x = \frac{1}{2}$$

Из этого уравнения можно найти $x$:

$$2x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n$$

Так как $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, то:

$$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Разделим обе стороны на 2:

$$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Таким образом, для $\sin 3x = 0$ мы получаем:

$$3x = \pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi n}{3}$$

Ответ для первого уравнения:

$$x = \frac{\pi n}{3}, \quad x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Часть 2:

Уравнение 2:

$$\cos 7x — \cos 3x = 3 \sin 5x$$

Используем формулу для разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Подставим $A = 7x$, $B = 3x$:

$$\cos 7x — \cos 3x = -2 \sin \left( \frac{7x + 3x}{2} \right) \sin \left( \frac{7x — 3x}{2} \right)$$ $$\cos 7x — \cos 3x = -2 \sin (5x) \sin (2x)$$

Теперь у нас есть уравнение:

$$-2 \sin 5x \sin 2x = 3 \sin 5x$$

Поделим обе стороны на $\sin 5x$ (если $\sin 5x \neq 0$):

$$-2 \sin 2x = 3$$ $$\sin 2x = -\frac{3}{2}$$

Однако $\sin 2x$ не может быть больше 1 по модулю. Следовательно, у этого уравнения нет решений.

Таким образом, единственным решением для второго уравнения является:

$$x = \frac{\pi n}{5}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi n}{5}$$