ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1376 Алимов — Подробные Ответы

1. sin4 x — cos4 x + 2 cos2 x = cos 2x;
2. 2 sin2 x — cos4 x = 1 — sin4 x.

1) $\sin^4 x — \cos^4 x + 2 \cos^2 x = \cos 2x$;

$$(\sin^2 x — \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) + 2 \cos^2 x — (\cos^2 x — \sin^2 x) = 0;$$ $$\sin^2 x — \cos^2 x + 2 \cos^2 x — \cos^2 x + \sin^2 x = 0;$$ $$2 \sin^2 x = 0;$$ $$\sin x = 0;$$ $$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$

Ответ: $\pi n$.

2) $2 \sin^2 x — \cos^4 x = 1 — \sin^4 x$;

$$2 \sin^2 x — 1 — (\cos^4 x — \sin^4 x) = 0;$$ $$2 \sin^2 x — (\cos^2 x + \sin^2 x) — (\cos^2 x — \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = 0;$$ $$2 \sin^2 x — \cos^2 x — \sin^2 x — \cos^2 x + \sin^2 x = 0;$$ $$2 \sin^2 x — 2 \cos^2 x = 0;$$ $$-2(\cos^2 x — \sin^2 x) = 0;$$ $$-2 \cos 2x = 0;$$ $$\cos 2x = 0;$$ $$2x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

Задача 1: $\sin^4 x — \cos^4 x + 2 \cos^2 x = \cos 2x$

Шаг 1: Используем формулу разности квадратов

Рассмотрим выражение $\sin^4 x — \cos^4 x$. Это разность квадратов, которая по формуле разности квадратов преобразуется в произведение:

$$\sin^4 x — \cos^4 x = (\sin^2 x — \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x).$$

Заменим это в исходном уравнении:

$$(\sin^2 x — \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) + 2 \cos^2 x = \cos 2x.$$

Шаг 2: Используем тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

По основным тригонометрическим тождествам, $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, заменим это в уравнении:

$$(\sin^2 x — \cos^2 x)(1) + 2 \cos^2 x = \cos 2x.$$

Получаем:

$$\sin^2 x — \cos^2 x + 2 \cos^2 x = \cos 2x.$$

Шаг 3: Упростим выражение

Теперь у нас выражение:

$$\sin^2 x — \cos^2 x + 2 \cos^2 x.$$

Сгруппируем подобные члены:

$$\sin^2 x + (- \cos^2 x + 2 \cos^2 x) = \cos 2x,$$ $$\sin^2 x + \cos^2 x = \cos 2x.$$

Заменяем $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$$1 = \cos 2x.$$

Шаг 4: Решение уравнения $\cos 2x = 1$

Теперь решим уравнение $\cos 2x = 1$. Мы знаем, что $\cos \theta = 1$ при $\theta = 2k\pi$, где $k$ — целое число. Следовательно:

$$2x = 2k\pi.$$

Шаг 5: Найдем $x$

Теперь поделим обе части на 2:

$$x = k\pi.$$

Ответ: $x = \pi n$, где $n$ — целое число.

Задача 2: $2 \sin^2 x — \cos^4 x = 1 — \sin^4 x$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Начнем с преобразования исходного уравнения:

$$2 \sin^2 x — \cos^4 x = 1 — \sin^4 x.$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$2 \sin^2 x — \cos^4 x — 1 + \sin^4 x = 0.$$

Заменим $\cos^4 x$ с помощью тождества $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$, так как это даст нам возможность выразить все через $\sin^2 x$.

Шаг 2: Выразим $\cos^4 x$

Из тождества $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$ получаем:

$$\cos^4 x = (1 — \sin^2 x)^2 = 1 — 2 \sin^2 x + \sin^4 x.$$

Подставляем это в исходное уравнение:

$$2 \sin^2 x — (1 — 2 \sin^2 x + \sin^4 x) — 1 + \sin^4 x = 0.$$

Шаг 3: Упрощаем выражение

Теперь раскрываем скобки:

$$2 \sin^2 x — 1 + 2 \sin^2 x — \sin^4 x — 1 + \sin^4 x = 0.$$

Упрощаем:

$$2 \sin^2 x + 2 \sin^2 x — 1 — 1 = 0.$$

Это дает:

$$4 \sin^2 x — 2 = 0.$$

Шаг 4: Решение для $\sin^2 x$

Преобразуем уравнение:

$$4 \sin^2 x = 2,$$ $$\sin^2 x = \frac{1}{2}.$$

Шаг 5: Найдем $\sin x$

Теперь извлекаем корень:

$$\sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Это означает, что:

$$\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Шаг 6: Решение уравнения $\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь мы можем решить уравнение для $x$. Мы знаем, что $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, а $\sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно:

$$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi,$$

где $k$ — целое число.

Таким образом, общее решение:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.