ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1375 Алимов — Подробные Ответы

1. sin3 x + cos3 x = 0;
2. 2 sin2 x + sin2 2x
3. 8 sin x cos 2x cos x= корень 3;
4. 4 sin x cos x cos 2x= cos 4x.

$\sin^3 x + \cos^3 x = 0$;

$$(\sin x + \cos x)(\sin^2 x + \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x) = 0;$$ $$(\sin x + \cos x)(1 + 0,5 \sin 2x) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x + \cos x = 0 \quad | : \cos x;$$ $$\tg x + 1 = 0;$$ $$\tg x = -1;$$ $$x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$1 + 0,5 \sin x = 0;$$ $$0,5 \sin x = -1;$$ $$\sin x = -2 \text{ — корней нет};$$

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n$.

$2 \sin^2 x + \sin^2 2x = 2$;

$$2 \sin^2 x + 4 \sin^2 x \cdot \cos^2 x — 2 = 0;$$ $$2 \sin^2 x + 4 \sin^2 x \cdot (1 — \sin^2 x) — 2 = 0;$$ $$2 \sin^2 x + 4 \sin^2 x — 4 \sin^4 x — 2 = 0;$$ $$6 \sin^2 x — 4 \sin^4 x — 2 = 0;$$ $$2 \sin^4 x — 3 \sin^2 x + 1 = 0;$$

Пусть $y = \sin^2 x$, тогда:

$$2y^2 — 3y + 1 = 0;$$ $$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = 1;$$

Первое уравнение:

$$\sin^2 x = \frac{1}{2};$$ $$\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$x = \pm \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin^2 x = 1;$$ $$\sin x = \pm 1;$$ $$x = \pm \arcsin 1 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n$.

$8 \sin x \cdot \cos 2x \cdot \cos x = \sqrt{3}$;

$$4 \sin 2x \cdot \cos 2x = \sqrt{3};$$ $$2 \sin 4x = \sqrt{3};$$ $$\sin 4x = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$4x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{4} \cdot ((-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{4};$$

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{4}$.

$4 \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x = \cos 4x$;

$$2 \sin 2x \cdot \cos 2x = \cos 4x;$$ $$\sin 4x = \cos 4x \quad | : \cos 4x;$$ $$\tg 4x = 1;$$ $$4x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}.$$

Ответ: $\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$.

Уравнение 1: $\sin^3 x + \cos^3 x = 0$

Исходное уравнение:

$$\sin^3 x + \cos^3 x = 0$$

Мы можем воспользоваться формулой разности кубов для упрощения выражения. Формула разности кубов:

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)$$

Подставим $a = \sin x$ и $b = \cos x$:

$$\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x — \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x)$$

Упрощение второго множителя:

Используя тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:

$$\sin^2 x — \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x = 1 — \sin x \cdot \cos x$$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$$(\sin x + \cos x)(1 — \sin x \cdot \cos x) = 0$$

Решение уравнения:

У нас два множителя, каждый из которых может быть равен нулю:

Первое уравнение:

$$\sin x + \cos x = 0$$

Решение этого уравнения: разделим обе части на $\cos x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$):

$$\tan x + 1 = 0$$ $$\tan x = -1$$

Решение для $\tan x = -1$:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Второе уравнение:

$$1 — \sin x \cdot \cos x = 0$$ $$\sin x \cdot \cos x = 1$$

Но $\sin x \cdot \cos x$ не может быть равен 1, так как максимальное значение произведения $\sin x \cdot \cos x$ равно $\frac{1}{2}$, когда $x = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, для второго уравнения корней нет.

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Уравнение 2: $2 \sin^2 x + \sin^2 2x = 2$

Исходное уравнение:

$$2 \sin^2 x + \sin^2 2x = 2$$

Используем тождество для $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, чтобы выразить $\sin^2 2x$:

$$\sin^2 2x = (2 \sin x \cos x)^2 = 4 \sin^2 x \cos^2 x$$

Подставим это в исходное уравнение:

$$2 \sin^2 x + 4 \sin^2 x \cos^2 x = 2$$

Упростим уравнение:

$$2 \sin^2 x + 4 \sin^2 x (1 — \sin^2 x) = 2$$

Распишем:

$$2 \sin^2 x + 4 \sin^2 x — 4 \sin^4 x = 2$$

Соберем все в одну сторону:

$$6 \sin^2 x — 4 \sin^4 x — 2 = 0$$

Теперь разделим на 2:

$$3 \sin^2 x — 2 \sin^4 x — 1 = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $\sin^2 x$. Пусть $y = \sin^2 x$, тогда:

$$2y^2 — 3y + 1 = 0$$

Решение квадратного уравнения:

Вычислим дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 — 1}{4} = \frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = 1$$

Таким образом, $\sin^2 x = \frac{1}{2}$ или $\sin^2 x = 1$.

Решение для $\sin^2 x = \frac{1}{2}$:

$$\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Решение:

$$x = \pm \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Решение для $\sin^2 x = 1$:

$$\sin x = \pm 1$$

Решение:

$$x = \pm \arcsin 1 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Уравнение 3: $8 \sin x \cdot \cos 2x \cdot \cos x = \sqrt{3}$

Исходное уравнение:

$$8 \sin x \cdot \cos 2x \cdot \cos x = \sqrt{3}$$

Используем тождество $\cos 2x = 2 \cos^2 x — 1$ для выражения $\cos 2x$:

$$8 \sin x \cdot (2 \cos^2 x — 1) \cdot \cos x = \sqrt{3}$$

Упростим выражение:

Раскроем скобки:

$$8 \sin x \cos x (2 \cos^2 x — 1) = \sqrt{3}$$ $$4 \sin 2x \cos 2x = \sqrt{3}$$

Дальнейшее упрощение:

Используем тождество для $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$:

$$2 \sin 4x = \sqrt{3}$$ $$\sin 4x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Решение:

$$4x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$ $$x = \frac{1}{4} \cdot ((-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{4}$$

Ответ:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{4}$$

Уравнение 4: $4 \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x = \cos 4x$

Исходное уравнение:

$$4 \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x = \cos 4x$$

Используем тождество $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$$2 \sin 2x \cdot \cos 2x = \cos 4x$$

Упростим уравнение:

$$\sin 4x = \cos 4x$$

Решение:

Используем тождество $\tan 4x = 1$:

$$\tan 4x = 1$$

Решение:

$$4x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Делим на 4:

$$x = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$$