ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1374 Алимов — Подробные Ответы

cos2x/(1-sin2x) =cosx+sinx.

Решить уравнение:

$$\frac{\cos 2x}{1 — \sin 2x} = \cos x + \sin x;$$ $$\cos 2x = (\cos x + \sin x)(1 — \sin 2x);$$ $$\cos 2x — (\cos x + \sin x)(\cos^2 x + \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x) = 0;$$ $$(\cos^2 x — \sin^2 x) — (\cos x + \sin x)(\cos x — \sin x)^2 = 0;$$ $$(\cos x + \sin x)(\cos x — \sin x)(1 — (\cos x — \sin x)) = 0;$$ $$(\cos^2 x — \sin^2 x)(1 — \cos x + \sin x) = 0;$$ $$\cos 2x \cdot (\sin x — \cos x + 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos 2x = 0;$$ $$2x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\sin x — \cos x + 1 = 0;$$ $$\cos x — \sin x = 1 \quad | : \sqrt{2};$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos x — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\cos \left( \frac{\pi}{4} + x \right) = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\frac{\pi}{4} + x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n — \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n + \frac{\pi}{4} = 2\pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$1 — \sin 2x \neq 0;$$ $$\sin 2x \neq 1;$$ $$2x \neq \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x \neq \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \neq \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \quad 2\pi n.$$

Дано уравнение:

$$\frac{\cos 2x}{1 — \sin 2x} = \cos x + \sin x;$$

Шаг 1: Трансформация исходного уравнения

Умножим обе части уравнения на выражение $1 — \sin 2x$ (при условии, что $1 — \sin 2x \neq 0$):

$$\cos 2x = (\cos x + \sin x)(1 — \sin 2x);$$

Теперь раскроем скобки:

$$\cos 2x = (\cos x + \sin x)(\cos^2 x + \sin^2 x — 2 \sin x \cos x);$$

Используем тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, чтобы упростить выражение:

$$\cos 2x = (\cos x + \sin x)(1 — 2 \sin x \cos x);$$

Шаг 2: Разложение и упрощение

Теперь раскроем произведение:

$$\cos 2x = (\cos x + \sin x)(1 — 2 \sin x \cos x)$$ $$= (\cos x + \sin x) — 2 \sin x \cos x (\cos x + \sin x).$$

Приведем выражения:

$$\cos 2x — (\cos x + \sin x) + 2 \sin x \cos x (\cos x + \sin x) = 0.$$

Шаг 3: Упрощение выражений

Теперь преобразуем $(\cos x + \sin x)(\cos x — \sin x)^2$:

$$(\cos x + \sin x)(\cos x — \sin x)^2 = (\cos x + \sin x)(\cos^2 x — 2 \sin x \cos x + \sin^2 x).$$

Используя тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, получаем:

$$(\cos x + \sin x)(1 — 2 \sin x \cos x) = 0.$$

Таким образом, у нас есть два возможных равенства:

$$\cos x + \sin x = 0 \quad \text{или} \quad 1 — 2 \sin x \cos x = 0.$$

Шаг 4: Решение первого уравнения

$\cos x + \sin x = 0$:

$$\cos x = -\sin x.$$

Это уравнение можно решить, разделив обе стороны на $\cos x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$):

$$1 = -\tan x.$$

Таким образом, $\tan x = -1$, и решение этого уравнения:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \quad \text{(где \( n \) — целое число)}.$$

Шаг 5: Решение второго уравнения

$1 — 2 \sin x \cos x = 0$:

Используем тождество для удвоенного угла:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x.$$

Тогда уравнение превращается в:

$$\sin 2x = 1.$$

Решение этого уравнения:

$$2x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Разделив на 2:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Шаг 6: Условия

Необходимо также учитывать, что исходное уравнение имеет смысл только при условии, что знаменатель не равен нулю:

$$1 — \sin 2x \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \sin 2x \neq 1.$$

Таким образом, $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n$, чтобы избежать деления на ноль.

Шаг 7: Ответ

Итак, окончательное решение уравнения:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \quad x = 2\pi n.$$

Вывод:

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \quad 2\pi n.$$