ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1373 Алимов — Подробные Ответы

1. sin x + sin 2x = cos x + 2 cos2 x;
2. 2 cos 2x — (корень 6) (cos x — sin x).

$\sin x + \sin 2x = \cos x + 2 \cos^2 x$;

$\sin x + 2 \sin x \cdot \cos x — \cos x — 2 \cos^2 x = 0$;

$\sin x \cdot (1 + 2 \cos x) — \cos x \cdot (1 + 2 \cos x) = 0$;

$(\sin x — \cos x)(1 + 2 \cos x) = 0$;

Первое уравнение:

$\sin x — \cos x = 0 \quad | : \cos x$;

$\operatorname{tg} x — 1 = 0$;

$\operatorname{tg} x = 1$;

$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$;

Второе уравнение:

$1 + 2 \cos x = 0$;

$2 \cos x = -1$;

$\cos x = -\frac{1}{2}$;

$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2 \pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2 \pi n = \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi n$;

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n; \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi n$.

$2 \cos 2x = \sqrt{6}(\cos x — \sin x)$;

$2(\cos^2 x — \sin^2 x) — \sqrt{6}(\cos x — \sin x) = 0$;

$2(\cos x — \sin x)(\cos x + \sin x) — \sqrt{6}(\cos x — \sin x) = 0$;

$(\cos x — \sin x)(2 \cos x + 2 \sin x — \sqrt{6}) = 0$;

Первое уравнение:

$\cos x — \sin x = 0 \quad | : \cos x$;

$1 — \operatorname{tg} x = 0$;

$\operatorname{tg} x = 1$;

$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$;

Второе уравнение:

$2 \cos x + 2 \sin x — \sqrt{6} = 0$;

$\sin \left( \frac{\pi}{2} — x \right) + \sin x = \frac{\sqrt{6}}{2}$;

$2 \cdot \sin \frac{\frac{\pi}{2} — x + x}{2} \cdot \cos \frac{\frac{\pi}{2} — x — x}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$;

$2 \cdot \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} — x \right) = \frac{\sqrt{6}}{2}$;

$\sqrt{2} \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} — x \right) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$;

$\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

$x — \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2 \pi n$;

$x_1 = -\frac{\pi}{6} + 2 \pi n + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} + 2 \pi n$;

$x_2 = +\frac{\pi}{6} + 2 \pi n + \frac{\pi}{4} = \frac{5 \pi}{12} + 2 \pi n$;

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{12} + 2 \pi n; \frac{5 \pi}{12} + 2 \pi n$.

Задача 1

Дано уравнение:

$$\sin x + \sin 2x = \cos x + 2 \cos^2 x$$

Шаг 1: Использование формул двойного угла

Заменим $\sin 2x$ и $\cos 2x$ через стандартные формулы для удвоенных углов:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x, \quad \cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Подставляем эти выражения в исходное уравнение:

$$\sin x + 2 \sin x \cos x = \cos x + 2 \cos^2 x$$

Шаг 2: Переносим все на одну сторону

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

$$\sin x + 2 \sin x \cos x — \cos x — 2 \cos^2 x = 0$$

Шаг 3: Группировка

Теперь мы можем сгруппировать слагаемые так, чтобы выделить общий множитель. Группируем выражения, содержащие $\sin x$ и $\cos x$:

$$\sin x \cdot (1 + 2 \cos x) — \cos x \cdot (1 + 2 \cos x) = 0$$

Теперь у нас выражение, которое можно факторизовать:

$$(\sin x — \cos x)(1 + 2 \cos x) = 0$$

Шаг 4: Разбор двух случаев

Теперь мы решим два уравнения:

1. $\sin x — \cos x = 0$
2. $1 + 2 \cos x = 0$

Решение для первого уравнения

Решим уравнение $\sin x — \cos x = 0$:

$$\sin x = \cos x$$

Делим обе части на $\cos x$ (если $\cos x \neq 0$):

$$\tg x = 1$$

Это означает, что:

$$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$.

Решение для второго уравнения

Теперь решим уравнение $1 + 2 \cos x = 0$:

$$2 \cos x = -1$$ $$\cos x = -\frac{1}{2}$$

Решим для $x$:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2 \pi n$$

Так как $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, то:

$$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2 \pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n$$

Ответ

Таким образом, решения для уравнения:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Задача 2

Дано уравнение:

$$2 \cos 2x = \sqrt{6} (\cos x — \sin x)$$

Шаг 1: Раскрытие выражений

Используем формулу для $\cos 2x$:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Подставляем это в уравнение:

$$2 (\cos^2 x — \sin^2 x) = \sqrt{6} (\cos x — \sin x)$$

Шаг 2: Переносим все слагаемые на одну сторону

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$2 (\cos x — \sin x) (\cos x + \sin x) — \sqrt{6} (\cos x — \sin x) = 0$$

Теперь выносим общий множитель $(\cos x — \sin x)$:

$$(\cos x — \sin x)(2 (\cos x + \sin x) — \sqrt{6}) = 0$$

Шаг 3: Разбор двух случаев

Теперь решим два уравнения:

1. $\cos x — \sin x = 0$
2. $2 (\cos x + \sin x) — \sqrt{6} = 0$

Решение для первого уравнения

Решим уравнение $\cos x — \sin x = 0$:

$$\cos x = \sin x$$

Делим обе части на $\cos x$ (если $\cos x \neq 0$):

$$\tg x = 1$$

Это означает, что:

$$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Решение для второго уравнения

Теперь решим уравнение $2 (\cos x + \sin x) — \sqrt{6} = 0$:

$$2 (\cos x + \sin x) = \sqrt{6}$$ $$\cos x + \sin x = \frac{\sqrt{6}}{2}$$

Чтобы решить это уравнение, используем формулу для синуса суммы:

$$\sin \left( \frac{\pi}{2} — x \right) + \sin x = \frac{\sqrt{6}}{2}$$

Используем стандартное представление для синуса и косинуса:

$$2 \cdot \sin \frac{\frac{\pi}{2} — x + x}{2} \cdot \cos \frac{\frac{\pi}{2} — x — x}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$

Применяем углы:

$$\sqrt{2} \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} — x \right) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$

Теперь находим:

$$\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Решение этого уравнения:

$$x — \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2 \pi n$$

Следовательно, $x$ будет:

$$x_1 = -\frac{\pi}{6} + 2 \pi n + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} + 2 \pi n$$ $$x_2 = +\frac{\pi}{6} + 2 \pi n + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{12} + 2 \pi n$$

Ответ

Решения для $x$:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = \frac{\pi}{12} + 2 \pi n; \quad x = \frac{5\pi}{12} + 2 \pi n$$

Ответ:

1. $x = \frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
2. $x = \frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = \frac{\pi}{12} + 2\pi n; \quad x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n$