ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1372 Алимов — Подробные Ответы

1. tg3 x + tg2 x — 2 tg x — 2 = 0;
2. 1 — cos x = tg x — sin x.

1)

$$\tg^3 x + \tg^2 x — 2 \cdot \tg x — 2 = 0;$$ $$\tg^2 x \cdot (\tg x + 1) — 2 \cdot (\tg x + 1) = 0;$$ $$(\tg^2 x — 2)(\tg x + 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\tg^2 x — 2 = 0;$$ $$\tg^2 x = 2;$$ $$\tg x = \pm \sqrt{2};$$ $$x = \pm \arctg \sqrt{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\tg x + 1 = 0;$$ $$\tg x = -1;$$ $$x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: $\pm \arctg \sqrt{2} + \pi n; \, -\frac{\pi}{4} + \pi n.$

2)

$$1 — \cos x = \tg x — \sin x;$$ $$1 — \cos x = \frac{\sin x}{\cos x} — \sin x \quad | \cdot \cos x;$$ $$\cos x — \cos^2 x — \sin x + \sin x \cdot \cos x = 0;$$ $$\cos x \cdot (\sin x — \cos x) — (\sin x — \cos x) = 0;$$ $$(\cos x — 1)(\sin x — \cos x) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos x — 1 = 0;$$ $$\cos x = 1;$$ $$x = \arccos 1 + 2\pi n = 2\pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin x — \cos x = 0 \quad | : \cos x;$$ $$\tg x — 1 = 0;$$ $$\tg x = 1;$$ $$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: $2\pi n; \, \frac{\pi}{4} + \pi n.$

Задача 1

Уравнение:

$$\tg^3 x + \tg^2 x — 2 \cdot \tg x — 2 = 0$$

Шаг 1: Замена переменной

Обозначим $y = \tg x$. Тогда уравнение можно записать как:

$$y^3 + y^2 — 2y — 2 = 0$$

Шаг 2: Разделение на множители

Рассмотрим это уравнение как многочлен. Для того чтобы упростить решение, попробуем разделить его на множители. Мы можем выделить общий множитель:

$$y^2 (y + 1) — 2(y + 1) = 0$$

Теперь извлекаем общий множитель $(y + 1)$:

$$(y^2 — 2)(y + 1) = 0$$

Шаг 3: Разбор каждого из уравнений

У нас получилось два уравнения:

1. $y^2 — 2 = 0$
2. $y + 1 = 0$

Шаг 4: Решение первого уравнения

Решим уравнение $y^2 — 2 = 0$:

$$y^2 = 2$$ $$y = \pm \sqrt{2}$$

Теперь вернемся к исходной переменной $\tg x = y$, то есть:

$$\tg x = \pm \sqrt{2}$$

Следовательно, решения для $x$:

$$x = \pm \arctg \sqrt{2} + \pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$.

Шаг 5: Решение второго уравнения

Решим уравнение $y + 1 = 0$:

$$y = -1$$

Таким образом:

$$\tg x = -1$$

Решением этого уравнения будет:

$$x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 6: Итоговый ответ

Объединяя все решения, получаем:

$$x = \pm \arctg \sqrt{2} + \pi n; \, -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Задача 2

Уравнение:

$$1 — \cos x = \tg x — \sin x$$

Шаг 1: Подстановка выражений для тригонометрических функций

Для начала выразим тангенс через синус и косинус:

$$\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$$

Тогда уравнение примет вид:

$$1 — \cos x = \frac{\sin x}{\cos x} — \sin x$$

Шаг 2: Умножение обеих частей на $\cos x$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на $\cos x$:

$$\cos x (1 — \cos x) = \sin x — \sin x \cdot \cos x$$

Распишем это уравнение:

$$\cos x — \cos^2 x = \sin x — \sin x \cdot \cos x$$

Шаг 3: Группировка выражений

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

$$\cos x — \cos^2 x — \sin x + \sin x \cdot \cos x = 0$$

Далее вынесем общий множитель $\sin x — \cos x$:

$$\cos x \cdot (\sin x — \cos x) — (\sin x — \cos x) = 0$$

Итак, у нас получилось:

$$(\cos x — 1)(\sin x — \cos x) = 0$$

Шаг 4: Разбор каждого из уравнений

Теперь нам нужно решить два уравнения:

1. $\cos x — 1 = 0$
2. $\sin x — \cos x = 0$

Шаг 5: Решение первого уравнения

Решим уравнение $\cos x — 1 = 0$:

$$\cos x = 1$$

Решением этого уравнения будет:

$$x = \arccos 1 + 2\pi n = 2\pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$.

Шаг 6: Решение второго уравнения

Решим уравнение $\sin x — \cos x = 0$:

$$\sin x = \cos x$$

Поделим обе части на $\cos x$ (если $\cos x \neq 0$):

$$\tg x = 1$$

Решением этого уравнения будет:

$$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 7: Итоговый ответ

Таким образом, решения для $x$:

$$x = 2\pi n; \, \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ:

1. $x = \pm \arctg \sqrt{2} + \pi n; \, -\frac{\pi}{4} + \pi n$
2. $x = 2\pi n; \, \frac{\pi}{4} + \pi n$